Jawaban: D

Gunakan identitas:

\( \sin A-\sin B=2\cos\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\sin\left(\dfrac{A-B}{2}\right) \).

Ambil \( A=105^\circ \) dan \( B=15^\circ \), maka:

\( \dfrac{A+B}{2}=\dfrac{120^\circ}{2}=60^\circ \) dan \( \dfrac{A-B}{2}=\dfrac{90^\circ}{2}=45^\circ \).

Jadi:

\( \sin 105^\circ-\sin 15^\circ=2\cos 60^\circ \sin 45^\circ \).

Karena \( \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2} \) dan \( \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \), maka:

\( 2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \).

Jawaban: C

Rasionalkan dengan sekawan:

\( \sqrt{25x^2+18x+2}-5x-1=\dfrac{\left(\sqrt{25x^2+18x+2}-5x-1\right)\left(\sqrt{25x^2+18x+2}+5x+1\right)}{\sqrt{25x^2+18x+2}+5x+1} \).

Pembilang menjadi selisih kuadrat:

\( (25x^2+18x+2)-(5x+1)^2 \).

Karena \( (5x+1)^2=25x^2+10x+1 \), maka pembilang:

\( 25x^2+18x+2-(25x^2+10x+1)=8x+1 \).

Jadi limit menjadi:

\( \lim_{x\to\infty}\dfrac{8x+1}{\sqrt{25x^2+18x+2}+5x+1} \).

Bagi pembilang dan penyebut dengan \( x \):

\( \lim_{x\to\infty}\dfrac{8+\frac{1}{x}}{\sqrt{25+\frac{18}{x}+\frac{2}{x^2}}+5+\frac{1}{x}}=\dfrac{8}{5+5}=\dfrac{4}{5} \).

Jawaban: A

Gunakan limit dasar:

\( \lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{1}{2} \) dan \( \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 2x}{2x}=1 \).

Ubah bentuk:

\( \dfrac{1-\cos x}{2x\sin 2x}=\left(\dfrac{1-\cos x}{x^2}\right)\left(\dfrac{x^2}{2x\sin 2x}\right)=\left(\dfrac{1-\cos x}{x^2}\right)\left(\dfrac{x}{2\sin 2x}\right) \).

Karena \( \dfrac{x}{2\sin 2x}=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{2x}{\sin 2x} \), maka saat \( x\to 0 \):

\( \left(\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{1}{8} \).

Jawaban: B

Turunkan \( g(x) \):

\( g'(x)=x^2-\dfrac{A^2}{9} \).

Karena \( f(x)=g(2x-1) \), maka:

\( f'(x)=g'(2x-1)\cdot 2=2\left((2x-1)^2-\dfrac{A^2}{9}\right) \).

Agar \( f \) naik pada \( x\le 0 \) dan \( x\ge 1 \), maka pada daerah tersebut harus \( f'(x)\ge 0 \).

Jika \( x\le 0 \) atau \( x\ge 1 \), maka \( |2x-1|\ge 1 \) sehingga \( (2x-1)^2\ge 1 \).

Supaya \( 2\left((2x-1)^2-\dfrac{A^2}{9}\right)\ge 0 \) untuk semua \( (2x-1)^2\ge 1 \), nilai terkecil \( (2x-1)^2 \) adalah \( 1 \), jadi perlu:

\( 1-\dfrac{A^2}{9}\ge 0 \Rightarrow A^2\le 9 \).

Agar perubahan monotonnya tepat terjadi di batas \( x=0 \) dan \( x=1 \) (di luar naik dan di dalam tidak naik), ambil \( A^2=9 \) sehingga \( \dfrac{A^2}{9}=1 \).

Maka \( g'(x)=x^2-1 \), titik kritis \( x=\pm 1 \).

Turunan kedua \( g''(x)=2x \), sehingga di \( x=-1 \) berlaku \( g''(-1)=-2 \lt 0 \), maka \( x=-1 \) adalah maksimum relatif.

Nilai maksimum relatif:

\( g(-1)=\dfrac{1}{3}(-1)^3-\dfrac{9}{9}(-1)+1=-\dfrac{1}{3}+1+1=\dfrac{5}{3} \).

Jawaban: B

Substitusi:

\( u=x^3+6x+1 \Rightarrow du=(3x^2+6)\,dx=3(x^2+2)\,dx \).

Maka \( (x^2+2)\,dx=\dfrac{1}{3}du \), sehingga:

\( \int \dfrac{x^2+2}{\sqrt{x^3+6x+1}}\,dx=\int \dfrac{\frac{1}{3}du}{\sqrt{u}}=\dfrac{1}{3}\int u^{-\frac{1}{2}}du \).

\( \int u^{-\frac{1}{2}}du=2u^{\frac{1}{2}} \), jadi:

\( \dfrac{1}{3}\cdot 2\sqrt{u}+C=\dfrac{2}{3}\sqrt{x^3+6x+1}+C \).