Soal 1
Luas maksimum persegipanjang \(OABC\) pada gambar adalah ....
A. \(4\frac{1}{2}\) satuan luas
B. \(5\) satuan luas
C. \(5\frac{1}{2}\) satuan luas
D. \(6\) satuan luas
E. \(6\frac{1}{2}\) satuan luas
Jawaban & Analisis
Karena titik \(B(x,y)\) berada pada garis \(2x+y=6\), maka diperoleh \(y=6-2x\).
Luas persegipanjang adalah \(L=x(6-2x)=6x-2x^2\), dengan syarat \(x \gt 0\) dan \(y \gt 0\).
Nilai maksimum fungsi kuadrat terjadi di \[ x=\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{2(-2)}=\frac{3}{2}. \]
Sehingga \(y=3\) dan \[ L=\frac{3}{2}\cdot 3=\frac{9}{2}=4\frac{1}{2}. \]
Jawaban: \(4\frac{1}{2}\).
Soal 2
Diketahui \(2^{2x}+2^{-2x}=23\). Nilai \(2^x+2^{-x}=\) ....
A. \(\sqrt{21}\)
B. \(\sqrt{24}\)
C. \(5\)
D. \(21\)
E. \(25\)
Jawaban & Analisis
Misalkan \(t=2^x+2^{-x}\).
\[ t^2=2^{2x}+2+2^{-2x}. \]
Substitusi \(2^{2x}+2^{-2x}=23\): \[ t^2=25. \]
Karena \(2^x \gt 0\), maka \(t \gt 0\).
Sehingga \(t=5\).
Soal 3
Kedua akar persamaan \(p^2x^2-4px+1=0\) berkebalikan, maka nilai \(p=\) ....
A. \(-1\) atau \(2\)
B. \(-1\) atau \(-2\)
C. \(1\) atau \(-2\)
D. \(1\) atau \(2\)
E. \(-1\) atau \(1\)
Jawaban & Analisis
Jika akar-akar berkebalikan maka \(r_1r_2=1\).
Dari rumus Vieta: \[ r_1r_2=\frac{1}{p^2}. \]
\[ \frac{1}{p^2}=1 \Rightarrow p^2=1 \Rightarrow p=\pm 1. \]
Jadi \(p=-1\) atau \(1\).
Soal 4
Fungsi \(f(x)=x\) dan \(g(x)=1-2x\). Jika \((f \circ g)(a)=25\), maka nilai \(a=\) ....
A. \(1\)
B. \(-1\)
C. \(2\)
D. \(3\)
E. \(4\)
Jawaban & Analisis
Karena \(f(x)=x\), maka \((f \circ g)(a)=g(a)\).
\[ 1-2a=25. \]
\[ -2a=24 \Rightarrow a=-12. \]
Jadi \(a=-12\).
Soal 5
Diketahui \[ \begin{pmatrix}-1 & 4 \\ -2 & 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4 & -5 \\ -3 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 1 \\ -4 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2p & 1 \\ 1 & q+1\end{pmatrix}. \] Nilai \(p+q=\) ....
A. \(-3\)
B. \(-1\)
C. \(1\)
D. \(2\)
E. \(3\)
Jawaban & Analisis
Ruas kiri: \[ \begin{pmatrix}3 & -1 \\ -5 & 5\end{pmatrix}. \]
Ruas kanan: \[ \begin{pmatrix}4p+1 & q+3 \\ -8p+3 & 3q-1\end{pmatrix}. \]
\[ 4p+1=3 \Rightarrow p=\frac{1}{2}. \] \[ q+3=-1 \Rightarrow q=-4. \]
\[ p+q=\frac{1}{2}-4=-\frac{7}{2}. \]
Jadi \(p+q=-\frac{7}{2}\).