Soal 6
Akar-akar persamaan \(x^2+6x-12=0\) adalah \(x_1\) dan \(x_2\). Persamaan baru yang akar-akarnya \( \left(\frac{3}{x_1}+\frac{3}{x_2}\right) \) dan \(x_1x_2\) adalah …
A. \(x^2+9x-18=0\)
B. \(x^2-21x-18=0\)
C. \(x^2+21x+36=0\)
D. \(2x^2+21x-36=0\)
E. \(2x^2+21x-18=0\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: D
Dari persamaan \(x^2+6x-12=0\), menurut rumus Vieta berlaku \(\;x_1+x_2=-6\) dan \(\;x_1x_2=-12\).
Akar pertama baru adalah \(\;\frac{3}{x_1}+\frac{3}{x_2}=3\left(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}\right)=3\left(\frac{-6}{-12}\right)=\frac{3}{2}\).
Akar kedua baru adalah \(\;x_1x_2=-12\).
Jika akar-akar baru \(\alpha=\frac{3}{2}\) dan \(\beta=-12\), maka persamaan barunya \(\;x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\).
\(\alpha+\beta=\frac{3}{2}-12=-\frac{21}{2}\) dan \(\alpha\beta=-18\).
Sehingga diperoleh \(\;x^2+\frac{21}{2}x-18=0\). Dikalikan \(2\) menjadi \(\;2x^2+21x-36=0\).
Soal 7
Rumus jumlah \(n\) suku pertama suatu deret aritmetika adalah \(S_n=n^2+3n\). Beda deret tersebut adalah …
A. \(6\)
B. \(4\)
C. \(2\)
D. \(-4\)
E. \(-6\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: C
Suku ke-\(n\) dapat dicari dengan \(\;U_n=S_n-S_{n-1}\).
\(\;S_{n-1}=(n-1)^2+3(n-1)=n^2+n-2\).
\(\;U_n=(n^2+3n)-(n^2+n-2)=2n+2\).
Beda deret \(\;d=U_{n+1}-U_n=(2n+4)-(2n+2)=2\).
Soal 8
Nilai dari \(\dfrac{\,^{2}\log^{2}8-\,^{2}\log 2}{\,^{2}\log \sqrt{8}-\,^{2}\log \sqrt{2}}\) = …
A. \(10\)
B. \(8\)
C. \(5\)
D. \(4\)
E. \(2\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: B
\(\;^{2}\log 8=3\) sehingga \(\;^{2}\log^{2}8=9\). Selain itu \(\;^{2}\log 2=1\).
Pembilang \(=9-1=8\).
\(\;\sqrt{8}=2^{3/2}\Rightarrow\,^{2}\log \sqrt{8}=\frac{3}{2}\) dan \(\;\sqrt{2}=2^{1/2}\Rightarrow\,^{2}\log \sqrt{2}=\frac{1}{2}\).
Penyebut \(=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1\).
Nilai akhir \(=\frac{8}{1}=8\).
Soal 9
Pertidaksamaan \(\,^{25}\log (x^2-2x-3)\lt \frac{1}{2}\) dipenuhi oleh …
A. \(-4\lt x\lt 2\)
B. \(-2\lt x\lt 4\)
C. \(x\lt -1\) atau \(x\gt 3\)
D. \(-4\lt x\lt -1\) atau \(2\lt x\lt 3\)
E. \(-2\lt x\lt -1\) atau \(3\lt x\lt 4\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: E
Karena \(\;25\gt 1\), fungsi logaritma meningkat, sehingga setara dengan \(\;0\lt x^2-2x-3\lt 5\).
\(\;x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\gt 0\Rightarrow x\lt -1\) atau \(x\gt 3\).
\(\;x^2-2x-8=(x-4)(x+2)\lt 0\Rightarrow -2\lt x\lt 4\).
Irisannya adalah \(-2\lt x\lt -1\) atau \(3\lt x\lt 4\).
Soal 10
Untuk daerah yang diarsir, nilai maksimum dari fungsi objektif \(f=3x+4y\) terjadi di titik …
A. O
B. P
C. Q
D. R
E. S
Jawaban & Analisis
Jawaban: D
Nilai maksimum fungsi linear terjadi di titik pojok daerah feasible.
Cari titik potong \(2x+y=8\) dan \(x+2y=8\).
\(\;y=8-2x\). Substitusi ke persamaan kedua menghasilkan \(\;x+2(8-2x)=8\Rightarrow -3x=-8\Rightarrow x=\frac{8}{3}\).
\(\;y=\frac{8}{3}\).
Titik tersebut adalah titik R, sehingga maksimum terjadi di titik R.