Soal 6
Diketahui segitiga \(ABC\) dengan \(AB = 4\) cm, \(AC = 6\) cm, \(BC = 8\) cm, dan \(\angle BAC = \alpha\). Nilai \(\cos \alpha\) adalah ....
A. \(-\dfrac{1}{4}\)
B. \(\dfrac{11}{24}\)
C. \(\dfrac{11}{18}\)
D. \(\dfrac{18}{24}\)
E. \(\dfrac{21}{24}\)
Jawaban dan Analisa
Gunakan aturan cosinus: \(\cos \alpha = \dfrac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}\).
\(\cos \alpha = \dfrac{4^2 + 6^2 - 8^2}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \dfrac{16 + 36 - 64}{48} = \dfrac{-12}{48} = -\dfrac{1}{4}\).
Jadi jawabannya adalah A.
Soal 7
Diketahui persamaan \(2\sin^2 x + 5\sin x - 3 = 0\) dan \(-\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}\). Nilai \(\cos x\) adalah ....
A. \(-\dfrac{1}{2}\sqrt{3}\)
B. \(-\dfrac{1}{2}\)
C. \(\dfrac{1}{2}\)
D. \(\dfrac{1}{2}\sqrt{3}\)
E. \(\dfrac{1}{3}\sqrt{3}\)
Jawaban dan Analisa
Misalkan \(s = \sin x\), maka diperoleh \(2s^2 + 5s - 3 = 0\).
Diskriminan: \(\Delta = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\).
\(s = \dfrac{-5 \pm 7}{4}\) sehingga \(s = \dfrac{1}{2}\) atau \(s = -3\). Karena \(-1 \le \sin x \le 1\), maka \(\sin x = \dfrac{1}{2}\).
Dengan \(-\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}\), \(\cos x\) bernilai positif. Jika \(\sin x = \dfrac{1}{2}\), maka \(x = \dfrac{\pi}{6}\).
\(\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Jawabannya D.
Soal 8
Bentuk \(\left(\sqrt{3}\sin x^\circ - \cos x^\circ\right)\) dapat diubah menjadi bentuk \(k\cos\left(x - c\right)^\circ\) adalah ....
A. \(2\cos\left(x - 30^\circ\right)\)
B. \(2\cos\left(x - 60^\circ\right)\)
C. \(2\cos\left(x - 120^\circ\right)\)
D. \(2\cos\left(x - 150^\circ\right)\)
E. \(2\cos\left(x - 210^\circ\right)\)
Jawaban dan Analisa
Gunakan identitas: \(\cos(x - c) = \cos x \cos c + \sin x \sin c\).
Cocokkan koefisien dengan \(\sqrt{3}\sin x - \cos x\): \( k\sin c = \sqrt{3} \) dan \( k\cos c = -1 \).
\(k = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2\).
\(\sin c = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos c = -\dfrac{1}{2}\), maka \(c = 120^\circ\).
Jadi jawabannya C.
Soal 9
Diketahui \(a = \left(^{3}\log 6\right)^2 - \left(^{3}\log 2\right)^2 - 2\left(^{9}\log 6\right)\) dan \(b = \left(^{3}\log\left(2\sqrt{2}\right)\right) + \dfrac{1}{^{4}\log 9} - \dfrac{^{6}\log 8}{^{\sqrt{6}}\log 3}\). Nilai \(\dfrac{a}{b}\) adalah ....
A. \(-4\)
B. \(-3\)
C. \(-\dfrac{1}{2}\)
D. \(\dfrac{1}{2}\)
E. \(1\)
Jawaban dan Analisa
Misalkan \(x = {^{3}\log 2}\). Maka \({^{3}\log 6} = x + 1\) dan \({^{9}\log 6} = \dfrac{x+1}{2}\).
\(a = (x+1)^2 - x^2 - 2 \cdot \dfrac{x+1}{2} = x\).
Dengan perhitungan sifat logaritma diperoleh \(b = x\).
\(\dfrac{a}{b} = 1\). Jawaban E.
Soal 10
Diketahui persamaan \(3^{4-x}+3^{x}-30=0\). Nilai \( (x_1+x_2) \) adalah ....
A. \(1\)
B. \(\frac{1}{3}\,^{3}\log 10\)
C. \(3\)
D. \(4\)
E. \(^{3}\log 30\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: D
Persamaan: \(3^{4-x}+3^{x}=30\).
Misalkan \(t=3^{x}\) sehingga \(t \gt 0\). Maka \(3^{4-x}=\frac{81}{t}\).
Diperoleh \(\frac{81}{t}+t=30\).
Kalikan \(t\): \(t^2-30t+81=0\).
Faktorkan: \((t-27)(t-3)=0\).
Maka \(t=27\) atau \(t=3\).
Jika \(3^x=27\) maka \(x_1=3\). Jika \(3^x=3\) maka \(x_2=1\).
Jadi \(x_1+x_2=4\).