Soal 11
Suatu tim cerdas cermat yang terdiri dari \(3\) orang siswa akan dipilih dari \(4\) orang putra dan \(3\) siswa putri. Jika setiap siswa mempunyai hak yang sama untuk dipilih, banyak cara memilih anggota tim tersebut adalah ....
A. \(12\)
B. \(35\)
C. \(70\)
D. \(210\)
E. \(840\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: B
Jumlah siswa \(=4+3=7\).
Banyak cara memilih \(3\) orang adalah kombinasi: \( \binom{7}{3} \).
\( \binom{7}{3}=\frac{7!}{3!\,4!}=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=35 \).
Soal 12
Perhatikan data tabel berikut!
| Nilai | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) |
| Frekuensi | \(3\) | \(7\) | \(12\) | \(11\) | \(7\) |
Nilai rata-rata pada tabel di atas adalah ....
A. \(5,08\)
B. \(5,8\)
C. \(6,03\)
D. \(6,05\)
E. \(6,3\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: E
\( \bar{x}=\frac{\sum x_i f_i}{\sum f_i} \).
\( \sum f_i=40 \).
\( \sum x_i f_i=252 \).
\( \bar{x}=\frac{252}{40}=6,3 \).
Soal 13
Diketahui \(g(x)=2x+3\) dan \((f\circ g)(x)=12x^2+32x+26\). Rumus \(f(x)\) adalah ....
A. \(3x^2-2x+5\)
B. \(3x^2-2x+37\)
C. \(3x^2-2x+50\)
D. \(3x^2+2x-5\)
E. \(3x^2+2x-50\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: A
Misal \(u=2x+3\).
\(f(u)=12\left(\frac{u-3}{2}\right)^2+32\left(\frac{u-3}{2}\right)+26\).
Sederhanakan menjadi \(3u^2-2u+5\).
Maka \(f(x)=3x^2-2x+5\).
Soal 14
Seorang penjahit membuat \(2\) jenis pakaian untuk dijual dengan kendala bahan. Agar laba maksimum, banyak pakaian masing-masing adalah ....
A. jenis I \(=15\) dan jenis II \(=8\)
B. jenis I \(=8\) dan jenis II \(=15\)
C. jenis I \(=20\) dan jenis II \(=3\)
D. jenis I \(=13\) dan jenis II \(=10\)
E. jenis I \(=10\) dan jenis II \(=13\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: A
Kendala: \(2x+5y \le 70\), \(4x+3y \le 84\).
Perpotongan kedua garis memberi \(x=15\) dan \(y=8\).
Titik ini menghasilkan laba maksimum.
Soal 15
Nilai \( \lim_{x\to\infty}\left[(3x-1)-\sqrt{9x^2-11x+9}\right] \) adalah ....
A. \(-1\)
B. \(0\)
C. \(\frac{1}{6}\)
D. \(\frac{3}{6}\)
E. \(\frac{5}{6}\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: E yaitu \( \frac{5}{6} \).
Perhatikan bentuk \( (3x-1)-\sqrt{9x^2-11x+9} \) saat \(x\to\infty\). Karena \(x\to\infty\), kita dapat mengambil \(x\gt 0\) (untuk \(x\) besar).
Gunakan cara mengalikan dengan sekawan: \[ (3x-1)-\sqrt{9x^2-11x+9} = \frac{\left((3x-1)-\sqrt{9x^2-11x+9}\right)\left((3x-1)+\sqrt{9x^2-11x+9}\right)}{(3x-1)+\sqrt{9x^2-11x+9}}. \]
Bagian atas menjadi selisih kuadrat: \[ \frac{(3x-1)^2-\left(9x^2-11x+9\right)}{(3x-1)+\sqrt{9x^2-11x+9}}. \]
Hitung pembilang: \[ (3x-1)^2=9x^2-6x+1. \] Maka \[ (9x^2-6x+1)-(9x^2-11x+9)=9x^2-6x+1-9x^2+11x-9=5x-8. \]
Jadi limit berubah menjadi: \[ \lim_{x\to\infty}\frac{5x-8}{(3x-1)+\sqrt{9x^2-11x+9}}. \]
Untuk \(x\) sangat besar, \(\sqrt{9x^2-11x+9}\) mendekati \(\sqrt{9x^2}=3x\) (karena \(x\gt 0\)). Maka penyebut mendekati \((3x-1)+3x=6x-1\).
Sehingga: \[ \lim_{x\to\infty}\frac{5x-8}{(3x-1)+\sqrt{9x^2-11x+9}} = \lim_{x\to\infty}\frac{5x-8}{6x-1} = \frac{5}{6}. \]
Jadi nilai limitnya adalah \( \frac{5}{6} \).