Soal 16
Nilai dari \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\tan 2x\cos 8x-\tan 2x}{16x^2} \) adalah ....
A. \( -4 \)
B. \( -6 \)
C. \( -8 \)
D. \( -16 \)
E. \( -32 \)
Jawaban & Analisis
Pembilang difaktorkan: \( \tan 2x\cos 8x-\tan 2x=\tan 2x(\cos 8x-1) \).
Untuk \( x\to 0 \), berlaku pendekatan \( \tan 2x \sim 2x \) dan \( \cos 8x-1 \sim -\frac{(8x)^2}{2}=-32x^2 \).
Maka pembilang \(\sim (2x)(-32x^2)=-64x^3 \). Sehingga \( \frac{-64x^3}{16x^2}=-4x \to 0 \).
Jadi nilai limitnya adalah \( 0 \) (tidak terdapat pada pilihan).
Soal 17
Suatu perusahaan memproduksi \( x \) buah barang. Setiap barang yang diproduksi memberikan keuntungan \( (225x-x^2) \) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai maksimum, banyak barang yang harus diproduksi adalah ....
A. \( 120 \)
B. \( 130 \)
C. \( 140 \)
D. \( 150 \)
E. \( 160 \)
Jawaban & Analisis
Total keuntungan: \( K(x)=x(225x-x^2)=225x^2-x^3 \).
Turunan pertama: \( K'(x)=450x-3x^2=3x(150-x) \).
Titik maksimum saat \( x=150 \). Jawaban: D.
Soal 18
Turunan pertama dari \( y=\frac{1}{2\sqrt{3x-1}} \) adalah ....
A. \( y'=\frac{1}{4}\sqrt{(3x-1)^3} \)
B. \( y'=\frac{-1}{4\sqrt{(3x-1)^3}} \)
C. \( y'=\frac{1}{4\sqrt{(3x-1)^3}} \)
D. \( y'=\frac{1}{\sqrt{(3x-1)^3}} \)
E. \( y'=\frac{-3}{4\sqrt{(3x-1)^3}} \)
Jawaban & Analisis
\( y=\frac{1}{2}(3x-1)^{-\frac{1}{2}} \).
Turunan: \( y'=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)(3x-1)^{-\frac{3}{2}}\cdot 3 \).
Hasil: \( y'=-\frac{3}{4\sqrt{(3x-1)^3}} \). Jawaban: E.
Soal 19
Daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva \( y^2=x \) dan \( y=x^2 \) diputar \( 360^\circ \) mengelilingi sumbu \( y \). Volume benda putar yang terjadi adalah ....
A. \( \frac{21}{30}\pi \)
B. \( \frac{18}{30}\pi \)
C. \( \frac{16}{30}\pi \)
D. \( \frac{9}{30}\pi \)
E. \( \frac{4}{30}\pi \)
Jawaban & Analisis
Batas \( y \) dari \( 0 \) sampai \( 1 \).
Volume: \( V=\pi\int_{0}^{1}(y-y^4)\,dy \).
\( V=\pi\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)=\frac{3}{10}\pi=\frac{9}{30}\pi \). Jawaban: D.
Soal 20
Hasil dari \( \displaystyle \int 3x\cos 2x\,dx \) adalah ....
A. \( 3x\sin 2x+3\cos 2x+C \)
B. \( 3x\sin 2x+\cos 2x+C \)
C. \( -\frac{3}{2}x\sin 2x-\frac{3}{4}\cos 2x+C \)
D. \( \frac{3}{2}x\sin 2x+\frac{3}{4}\cos 2x+C \)
E. \( \frac{3}{2}x\sin 2x-\frac{3}{4}\cos 2x+C \)
Jawaban & Analisis
Gunakan integral parsial. Hasil akhirnya: \( \frac{3}{2}x\sin 2x+\frac{3}{4}\cos 2x+C \). Jawaban: D.