Misalkan titik umum pada garis adalah \((x,y)\) dengan \(y = -6x + 3\). Transformasi pertama \(A\) lalu kedua \(B\) berarti transformasi total \(T = BA\).

Hitung \(T\): \[ T = \left(\begin{array}{cc}0 & 2\\1 & -2\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}2 & 1\\-1 & -2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}-2 & -4\\4 & 5\end{array}\right). \] Maka \(\left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc}-2 & -4\\4 & 5\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)\), sehingga \(x' = -2x - 4y\) dan \(y' = 4x + 5y\).

Substitusi \(y = -6x + 3\):
\(x' = -2x - 4(-6x + 3) = 22x - 12\),
\(y' = 4x + 5(-6x + 3) = -26x + 15\).

Eliminasi \(x\): dari \(x' = 22x - 12\) diperoleh \(x = \dfrac{x' + 12}{22}\). Substitusi ke \(y'\):
\(y' = -26\left(\dfrac{x' + 12}{22}\right) + 15 = -\dfrac{13}{11}x' + \dfrac{9}{11}\).

Kalikan \(11\): \(11y' = -13x' + 9\) sehingga bentuk garis bayangan: \(13x' + 11y' - 9 = 0\).

Bentuk dasar: \(A \Rightarrow B\) dengan \(A = (\sim p \Rightarrow q)\) dan \(B = (\sim p \vee q)\). Kontraposisi adalah \((\sim B) \Rightarrow (\sim A)\).

Hitung \(\sim B\):
\(\sim(\sim p \vee q) = (p \wedge \sim q)\).

Hitung \(\sim A\):
\((\sim p \Rightarrow q)\) ekuivalen dengan \((p \vee q)\) karena \((a \Rightarrow b) \equiv (\sim a \vee b)\). Jadi \(\sim(\sim p \Rightarrow q) = \sim(p \vee q) = (\sim p \wedge \sim q)\).

Maka kontraposisinya \((p \wedge \sim q) \Rightarrow (\sim p \wedge \sim q)\), yaitu pilihan E.

Periksa satu per satu.

I: Dari \(p \Rightarrow q\) dan \(\sim p\) menyimpulkan \(\sim q\) adalah kekeliruan (menyangkal anteseden). Contoh bantahan: ambil \(p\) salah dan \(q\) benar, maka \(p \Rightarrow q\) benar, tetapi \(\sim q\) salah. Jadi I tidak sah.

II: Ingin membuktikan \(p \Rightarrow r\). Jika \(p\) benar, maka dari \(p \Rightarrow q\) diperoleh \(q\) benar. Lalu premis \(\sim q \vee r\) dengan \(q\) benar membuat \(\sim q\) salah, sehingga harus \(r\) benar. Jadi jika \(p\) benar maka \(r\) benar, artinya \(p \Rightarrow r\) sah. Jika \(p\) salah, \(p \Rightarrow r\) tetap benar. Maka II sah.

III: Dari \(p \Rightarrow q\) dan \(p \Rightarrow r\) menyimpulkan \(q \Rightarrow r\) tidak selalu benar. Contoh bantahan: ambil \(p\) salah, \(q\) benar, \(r\) salah. Maka \(p \Rightarrow q\) benar dan \(p \Rightarrow r\) benar, tetapi \(q \Rightarrow r\) salah. Jadi III tidak sah.

Kesimpulan: hanya II yang sah, jadi jawabannya B.

Gunakan koordinat. Ambil \(A(0,0,0)\), \(B(8,0,0)\), \(C(8,8,0)\), \(E(0,0,8)\), \(G(8,8,8)\). Titik tengah \(BC\) adalah \(M\left(8,4,0\right)\).

Garis \(EG\) memiliki vektor arah \(\overrightarrow{EG} = G - E = (8,8,0)\). Vektor \(\overrightarrow{EM} = M - E = (8,4,-8)\).

Jarak titik ke garis: \[ d = \dfrac{\left\lVert \overrightarrow{EM} \times \overrightarrow{EG} \right\rVert}{\left\lVert \overrightarrow{EG} \right\rVert}. \] Hitung: \(\overrightarrow{EM} \times \overrightarrow{EG} = (64,-64,32)\). Maka \(\left\lVert \overrightarrow{EM} \times \overrightarrow{EG} \right\rVert = \sqrt{64^2 + (-64)^2 + 32^2} = 96\). Dan \(\left\lVert \overrightarrow{EG} \right\rVert = \sqrt{8^2 + 8^2 + 0^2} = 8\sqrt{2}\).

Jadi \(d = \dfrac{96}{8\sqrt{2}} = \dfrac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}\). Jawabannya B.

Ambil koordinat kubus sisi \(4\): \(A(0,0,0)\), \(B(4,0,0)\), \(C(4,4,0)\), \(D(0,4,0)\), \(G(4,4,4)\). Vektor arah garis \(CG\) adalah \(\overrightarrow{CG} = (0,0,4)\) sehingga searah dengan \((0,0,1)\).

Bidang \(BDG\) memiliki vektor arah: \(\overrightarrow{BD} = D-B = (-4,4,0)\) dan \(\overrightarrow{BG} = G-B = (0,4,4)\). Vektor normal bidang: \[ \vec{n} = \overrightarrow{BD} \times \overrightarrow{BG} = (16,16,-16), \] sehingga arah normal sebanding dengan \((1,1,-1)\).

Misalkan sudut antara garis \(CG\) dan normal bidang adalah \(\theta\). Dengan \(\vec{d} = (0,0,1)\), \[ \cos\theta = \dfrac{|\vec{d}\cdot \vec{n}|}{|\vec{d}||\vec{n}|} = \dfrac{|(0,0,1)\cdot(1,1,-1)|}{1\cdot\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}. \]

Sudut antara garis dan bidang misalkan \(\varphi\), maka \(\varphi = 90^\circ - \theta\). Akibatnya \(\cos\varphi = \sin\theta\). \[ \sin\theta = \sqrt{1-\cos^2\theta} = \sqrt{1-\dfrac{1}{3}} = \sqrt{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}. \]

Jadi nilai yang diminta adalah \(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\), jawabannya C.