Jawaban: B

Gunakan sifat pangkat pecahan \( a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} \).

Hitung pembilang:

\( (125)^{\frac{2}{3}}=\left((5^3)^{\frac{1}{3}}\right)^2=5^2=25 \).

\( (25)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{25}=5 \).

Pembilang \( =25-5=20 \).

Hitung penyebut:

\( (81)^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{81}=3 \) karena \( 81=3^4 \).

\( (27)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}=3 \).

Penyebut \( =3+3=6 \).

Maka nilai pecahan:

\( \dfrac{20}{6}=\dfrac{10}{3} \).

Analisis opsi:

A salah karena hasilnya bukan \( \dfrac{8}{3} \).

B benar karena hasil perhitungan \( \dfrac{10}{3} \).

C salah karena lebih besar dari hasil benar.

D salah karena lebih besar dari hasil benar.

E salah karena \( \dfrac{20}{3} \) adalah dua kali hasil benar.

Jawaban: D

Rasionalkan penyebut dengan sekawan \( \sqrt{7}-\sqrt{2} \).

\( \dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{7}} \times \dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{3}(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{(\sqrt{2}+\sqrt{7})(\sqrt{7}-\sqrt{2})} \).

Penyebut memakai \( (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \):

\( (\sqrt{7})^2-(\sqrt{2})^2=7-2=5 \).

Pembilang:

\( 3\sqrt{3}\cdot\sqrt{7}=3\sqrt{21} \) dan \( 3\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}=3\sqrt{6} \).

Jadi pembilang \( =3\sqrt{21}-3\sqrt{6} \).

Hasil akhir:

\( \dfrac{3\sqrt{21}-3\sqrt{6}}{5}=\dfrac{3}{5}\sqrt{21}-\dfrac{3}{5}\sqrt{6} \).

Analisis opsi:

A salah karena tanda dan koefisien suku \( \sqrt{6} \) tidak sesuai hasil rasionalisasi.

B salah karena hasil seharusnya bernilai positif dan berbentuk selisih dengan koefisien sama \( \dfrac{3}{5} \).

C salah karena bentuk akar tidak cocok dengan hasil \( \sqrt{21} \) dan \( \sqrt{6} \).

D benar karena sama persis dengan hasil akhir.

E salah karena seharusnya tanda di antara dua suku adalah minus.

Jawaban: D

Langkah 1: Sederhanakan \( \,^{16}\log 9 \).

\( \,^{16}\log 9=\log_{16}(9)=\dfrac{\log(3^2)}{\log(2^4)}=\dfrac{2\log 3}{4\log 2}=\dfrac{1}{2}\log_2 3 \).

Langkah 2: Hitung \( \,^{3}\log 2 \cdot \,^{16}\log 9 \).

\( \,^{3}\log 2=\log_3 2=\dfrac{1}{\log_2 3} \).

Maka \( \,^{3}\log 2 \cdot \,^{16}\log 9 = \dfrac{1}{\log_2 3}\cdot \dfrac{1}{2}\log_2 3 = \dfrac{1}{2} \).

Langkah 3: Hitung \( \,^{3}\log 27 \).

\( \,^{3}\log 27=\log_3(3^3)=3 \).

Jadi pembilang:

\( \dfrac{1}{2}+3=\dfrac{7}{2} \).

Langkah 4: Sederhanakan penyebut.

\( \,^{2}\log 24 - \,^{2}\log 3 = \log_2 24 - \log_2 3 = \log_2\left(\dfrac{24}{3}\right)=\log_2 8=3 \).

Langkah 5: Hitung pecahan dan kuadratkan.

\( \dfrac{\frac{7}{2}}{3}=\dfrac{7}{6} \).

\( \left(\dfrac{7}{6}\right)^2=\dfrac{49}{36} \).

Analisis opsi:

A dan B salah karena nilainya jauh lebih besar dari hasil kuadrat \( \dfrac{7}{6} \).

C salah karena itu nilai pembilang \( \dfrac{7}{2} \), belum dibagi penyebut dan belum dikuadratkan.

D benar karena hasil akhir \( \dfrac{49}{36} \).

E salah karena itu nilai sebelum dikuadratkan, yaitu \( \dfrac{7}{6} \).

Jawaban: C

Langkah 1 (domain): Agar \( \,^{\frac{1}{3}}\log(x+\sqrt{3}) \) dan \( \,^{\frac{1}{3}}\log(x-\sqrt{3}) \) terdefinisi, harus:

\( x+\sqrt{3} \gt 0 \) dan \( x-\sqrt{3} \gt 0 \), sehingga \( x \gt \sqrt{3} \).

Langkah 2 (gabungkan log):

\( \,^{\frac{1}{3}}\log(x+\sqrt{3}) + \,^{\frac{1}{3}}\log(x-\sqrt{3}) = \,^{\frac{1}{3}}\log\left((x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})\right) \).

\( (x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=x^2-3 \), maka menjadi \( \,^{\frac{1}{3}}\log(x^2-3) \gt 0 \).

Langkah 3 (basis \( \dfrac{1}{3} \) kurang dari \( 1 \)): Untuk \( 0 \lt a \lt 1 \), berlaku \( \log_a(t) \gt 0 \iff 0 \lt t \lt 1 \).

Jadi \( 0 \lt x^2-3 \lt 1 \).

Dari \( 0 \lt x^2-3 \) diperoleh \( x^2 \gt 3 \).

Dari \( x^2-3 \lt 1 \) diperoleh \( x^2 \lt 4 \Rightarrow -2 \lt x \lt 2 \).

Karena domain mengharuskan \( x \gt \sqrt{3} \), gabungkan menjadi:

\( \sqrt{3} \lt x \lt 2 \).

Analisis opsi:

A salah karena memuat \( 0 \lt x \lt 2 \) yang sebagian melanggar \( x \gt \sqrt{3} \).

B salah karena memuat interval negatif yang membuat \( x-\sqrt{3} \lt 0 \).

C benar karena memenuhi domain dan pertidaksamaan.

D salah karena terlalu luas dan memuat nilai yang melanggar domain.

E salah karena memuat \( -\sqrt{3} \lt x \lt \sqrt{3} \) yang melanggar domain.

Jawaban: A

Gunakan rumus Vieta untuk \( x^2-(p+3)x+12=0 \):

\( \alpha+\beta = p+3 \) dan \( \alpha\beta = 12 \).

Diketahui \( \alpha=3\beta \), maka:

\( \alpha\beta = (3\beta)\beta = 3\beta^2 = 12 \Rightarrow \beta^2 = 4 \).

Jadi \( \beta=2 \) atau \( \beta=-2 \).

Jika \( \beta=2 \), maka \( \alpha=6 \) dan \( \alpha+\beta = 8 \Rightarrow p+3=8 \Rightarrow p=5 \).

Jika \( \beta=-2 \), maka \( \alpha=-6 \) dan \( \alpha+\beta = -8 \Rightarrow p+3=-8 \Rightarrow p=-11 \).

Jadi nilai \( p \) yang memenuhi adalah \( p=5 \) atau \( p=-11 \).

Analisis opsi:

A benar karena memuat \( 5 \) dan \( -11 \).

B salah karena \( -5 \) dan \( 11 \) tidak sesuai hasil Vieta.

C salah karena hanya benar untuk \( 5 \), sedangkan nilai lain seharusnya \( -11 \), bukan \( 11 \).

D salah karena tidak memuat \( -11 \).

E salah karena tidak memuat \( -11 \).