Ide: Gunakan sekawan karena bentuk \( \sqrt{\cdots}-(\cdots) \) saat \( x\to\infty \).

Misalkan \( L=\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2+4x-3}-(2x-5)\right) \).

Kalikan dengan sekawan:

\( L=\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2+4x-3}-(2x-5)\right)\cdot\dfrac{\sqrt{4x^2+4x-3}+(2x-5)}{\sqrt{4x^2+4x-3}+(2x-5)} \).

Pembilang menjadi:

\( (4x^2+4x-3)-(2x-5)^2 \).

Hitung \( (2x-5)^2=4x^2-20x+25 \), maka:

\( (4x^2+4x-3)-(4x^2-20x+25)=24x-28 \).

Sehingga:

\( L=\lim_{x\to\infty}\dfrac{24x-28}{\sqrt{4x^2+4x-3}+(2x-5)} \).

Karena \( x\to\infty \Rightarrow x \gt 0 \), maka:

\( \sqrt{4x^2+4x-3}=x\sqrt{4+\dfrac{4}{x}-\dfrac{3}{x^2}} \).

Bagi pembilang dan penyebut dengan \( x \):

\( L=\lim_{x\to\infty}\dfrac{24-\dfrac{28}{x}}{\sqrt{4+\dfrac{4}{x}-\dfrac{3}{x^2}}+2-\dfrac{5}{x}} \).

Saat \( x\to\infty \), \( \dfrac{28}{x}\to 0 \) dan \( \dfrac{5}{x}\to 0 \), sehingga:

\( L=\dfrac{24}{\sqrt{4}+2}=\dfrac{24}{2+2}=\dfrac{24}{4}=6 \).

Jawaban: E yaitu \( 6 \).

Konsep limit trig dasar: Untuk \( t\to 0 \), berlaku \( 1-\cos t \sim \dfrac{t^2}{2} \). Maka \( \cos t-1=-(1-\cos t)\sim -\dfrac{t^2}{2} \).

Pembilang: \( \cos 4x-1 \sim -\dfrac{(4x)^2}{2}=-\dfrac{16x^2}{2}=-8x^2 \).

Penyebut: \( 1-\cos 2x \sim \dfrac{(2x)^2}{2}=\dfrac{4x^2}{2}=2x^2 \).

Maka:

\( \lim_{x\to 0}\left(\dfrac{\cos 4x-1}{1-\cos 2x}\right)=\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{-8x^2}{2x^2}\right)=-4 \).

Jawaban: A yaitu \( -4 \).

Langkah 1 (aturan rantai): Misalkan \( u=\pi-2x \), maka \( f(x)=\left(\cos u\right)^5 \) dan \( u'=-2 \).

Langkah 2 (turunan pangkat):

\( f'(x)=5(\cos u)^4\cdot\dfrac{d}{dx}(\cos u) \).

Karena \( \dfrac{d}{dx}(\cos u)=-\sin u\cdot u' \), maka:

\( \dfrac{d}{dx}(\cos u)=-\sin u\cdot(-2)=2\sin u \).

Sehingga:

\( f'(x)=5(\cos u)^4\cdot 2\sin u=10\cos^4 u\sin u \).

Langkah 3 (ubah agar sesuai opsi): Gunakan \( \sin(2u)=2\sin u\cos u \).

\( 10\cos^4 u\sin u=5\cos^3 u\cdot(2\sin u\cos u)=5\cos^3 u\sin(2u) \).

Karena \( 2u=2(\pi-2x)=2\pi-4x \), maka:

\( f'(x)=5\cos^3(\pi-2x)\sin(2\pi-4x) \).

Jawaban: A yaitu \( f'(x)=5\cos^3(\pi-2x)\sin(2\pi-4x) \).

Langkah 1 (titik pada kurva): Jika \( x=2 \), maka:

\( y=2(2)^2-3(2)+5=2\cdot 4-6+5=7 \).

Titik singgung adalah \( (2,7) \).

Langkah 2 (gradien garis singgung): Turunan \( y=2x^2-3x+5 \) adalah:

\( y'=4x-3 \).

Pada \( x=2 \): \( m=4(2)-3=5 \).

Langkah 3 (persamaan garis):

\( y-7=5(x-2) \Rightarrow y-7=5x-10 \Rightarrow y=5x-3 \).

Jawaban: B yaitu \( y=5x-3 \).

Informasi dari gambar: Pagar hanya untuk \( 3 \) sisi (satu sisi menempel tembok). Kawat berduri pada pagar terdiri dari \( 4 \) utas sejajar.

Misalkan: panjang sisi sejajar tembok \( =x \) meter dan lebar \( =y \) meter, dengan \( x \gt 0 \) dan \( y \gt 0 \).

Panjang pagar untuk satu utas: \( x+2y \).

Karena ada \( 4 \) utas: \( 4(x+2y)=800 \Rightarrow x+2y=200 \).

Luas: \( L=xy \). Dari \( x=200-2y \), maka:

\( L(y)=y(200-2y)=200y-2y^2 \).

Fungsi kuadrat \( L(y)=-2y^2+200y \) maksimum di puncak, yaitu:

\( y=-\dfrac{200}{2(-2)}=\dfrac{200}{4}=50 \).

Maka \( x=200-2(50)=100 \).

Luas maksimum: \( L_{\max}=100\cdot 50=5000 \Rightarrow L_{\max}=5{.}000\ \text{m}^2 \).

Jawaban: D yaitu \( 5{.}000\ \text{m}^2 \).