Soal 11. Diketahui vektor \( \vec{a}=2\vec{i}+\vec{j}+3\vec{k} \) dan \( \vec{b}=-\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k} \). Sudut \( \theta \) adalah sudut antara vektor \( \vec{a} \) dan \( \vec{b} \). Nilai \( \sin\theta \) = ....
A. \( \dfrac{1}{10}\sqrt{7} \)
B. \( \dfrac{1}{7}\sqrt{7} \)
C. \( \dfrac{1}{7}\sqrt{14} \)
D. \( \dfrac{\sqrt{35}}{7} \)
E. \( \dfrac{2}{7}\sqrt{14} \)
Klik untuk melihat Jawaban dan Analisis
Langkah 1 (dot product):
\( \vec{a}\cdot\vec{b}=(2)(-1)+(1)(2)+(3)(2)=-2+2+6=6 \).
Langkah 2 (panjang vektor):
\( |\vec{a}|=\sqrt{2^2+1^2+3^2}=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14} \).
\( |\vec{b}|=\sqrt{(-1)^2+2^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=3 \).
Langkah 3 (cosinus sudut):
\( \cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\dfrac{6}{3\sqrt{14}}=\dfrac{2}{\sqrt{14}}=\dfrac{\sqrt{14}}{7} \).
Langkah 4 (sinus sudut):
\( \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-\left(\dfrac{\sqrt{14}}{7}\right)^2}=\sqrt{1-\dfrac{14}{49}}=\sqrt{\dfrac{35}{49}}=\dfrac{\sqrt{35}}{7} \).
Jawaban: D yaitu \( \dfrac{\sqrt{35}}{7} \).
Soal 12. Diketahui vektor \( \vec{a}=\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k} \) dan vektor \( \vec{b}=3\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k} \). Vektor \( \vec{c} \) mewakili vektor hasil proyeksi ortogonal vektor \( \vec{b} \) pada vektor \( \vec{a} \), maka vektor \( \vec{c} \) = ....
A. \( -\dfrac{1}{6}(\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k}) \)
B. \( \dfrac{1}{6}(3\vec{i}-2\vec{j}+2\vec{k}) \)
C. \( -\dfrac{1}{14}(\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k}) \)
D. \( -\dfrac{1}{14}(3\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}) \)
E. \( \dfrac{1}{6}(\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k}) \)
Klik untuk melihat Jawaban dan Analisis
Rumus proyeksi: \( \text{proj}_{\vec{a}}\vec{b}=\dfrac{\vec{b}\cdot\vec{a}}{\vec{a}\cdot\vec{a}}\vec{a} \).
Langkah 1 (hitung \( \vec{b}\cdot\vec{a} \)):
\( \vec{b}\cdot\vec{a}=(3)(1)+(1)(-2)+(-2)(1)=3-2-2=-1 \).
Langkah 2 (hitung \( \vec{a}\cdot\vec{a} \)):
\( \vec{a}\cdot\vec{a}=1^2+(-2)^2+1^2=1+4+1=6 \).
Langkah 3 (proyeksi):
\( \vec{c}=\dfrac{-1}{6}\vec{a}=-\dfrac{1}{6}(\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k}) \).
Jawaban: A yaitu \( -\dfrac{1}{6}(\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k}) \).
Soal 13. Luas daerah parkir \( 1.760 \) \( \text{m}^2 \). Luas rata-rata untuk mobil kecil \( 4 \) \( \text{m}^2 \) dan mobil besar \( 20 \) \( \text{m}^2 \). Daya tampung maksimum hanya \( 200 \) kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp\( 1.000{,}00 \)/jam dan mobil besar Rp\( 2.000{,}00 \)/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, penghasilan maksimum tempat parkir adalah ....
A. Rp\( 176.000{,}00 \)
B. Rp\( 200.000{,}00 \)
C. Rp\( 260.000{,}00 \)
D. Rp\( 300.000{,}00 \)
E. Rp\( 340.000{,}00 \)
Klik untuk melihat Jawaban dan Analisis
Langkah 1 (misalkan variabel): Misalkan \( x \) = banyak mobil kecil dan \( y \) = banyak mobil besar.
Langkah 2 (buat kendala):
Kendala luas: \( 4x+20y\le 1760 \Rightarrow x+5y\le 440 \).
Kendala jumlah kendaraan: \( x+y\le 200 \).
Kendala nonnegatif: \( x\ge 0 \) dan \( y\ge 0 \).
Langkah 3 (fungsi tujuan):
Maksimalkan \( R=1000x+2000y \). Bagi \( 1000 \): maksimalkan \( R'=x+2y \).
Langkah 4 (titik pojok):
Titik \( (200,0) \) memenuhi \( x+y\le 200 \) dan \( x+5y\le 440 \).
Titik \( (0,88) \) dari \( x+5y=440 \Rightarrow y=88 \) (juga memenuhi \( x+y\le 200 \)).
Titik potong \( x+5y=440 \) dan \( x+y=200 \):
\( (x+5y)-(x+y)=440-200 \Rightarrow 4y=240 \Rightarrow y=60 \), sehingga \( x=140 \).
Langkah 5 (nilai \( R \) di titik pojok):
\( R(200,0)=1000(200)+2000(0)=200.000 \).
\( R(0,88)=1000(0)+2000(88)=176.000 \).
\( R(140,60)=1000(140)+2000(60)=140.000+120.000=260.000 \).
Kesimpulan: Penghasilan maksimum Rp\( 260.000{,}00 \).
Jawaban: C yaitu Rp\( 260.000{,}00 \).
Soal 14. Diketahui salah satu faktor linear dari suku banyak \( f(x)=2x^3-3x^2+(p-15)x+6 \) adalah \( (2x-1) \). Faktor linear lainnya dari suku banyak tersebut adalah ....
A. \( x-5 \)
B. \( x-2 \)
C. \( x+1 \)
D. \( x+2 \)
E. \( x+3 \)
Klik untuk melihat Jawaban dan Analisis
Langkah 1 (teorema faktor): Jika \( (2x-1) \) faktor, maka \( x=\dfrac{1}{2} \) adalah akar, jadi \( f\left(\dfrac{1}{2}\right)=0 \).
Langkah 2 (hitung \( f\left(\dfrac{1}{2}\right) \)):
\( f\left(\dfrac{1}{2}\right)=2\left(\dfrac{1}{2}\right)^3-3\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+(p-15)\left(\dfrac{1}{2}\right)+6 \)
\( =2\left(\dfrac{1}{8}\right)-3\left(\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{p-15}{2}+6 \)
\( =\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{p-15}{2}+6=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{p-15}{2}+6=\dfrac{p-4}{2} \).
Karena \( f\left(\dfrac{1}{2}\right)=0 \), maka \( \dfrac{p-4}{2}=0 \Rightarrow p=4 \).
Langkah 3 (faktorkan polinom):
Dengan \( p=4 \), diperoleh \( f(x)=2x^3-3x^2-11x+6 \).
Karena sudah ada faktor \( (2x-1) \), lakukan pembagian:
\( 2x^3-3x^2-11x+6=(2x-1)(x^2-x-6) \).
Langkah 4 (faktorkan kuadrat):
\( x^2-x-6=(x-3)(x+2) \).
Kesimpulan: Faktor linear lainnya yang ada di opsi adalah \( x+2 \).
Jawaban: D yaitu \( x+2 \).
Soal 15. Diketahui \( f(x)=x^2-4x+2 \) dan \( g(x)=3x+5 \). Fungsi komposisi \( (f\circ g)(x) \) = ....
A. \( 3x^2-4x+5 \)
B. \( 3x^2-12x+7 \)
C. \( 3x^2-12x+11 \)
D. \( 9x^2+18x+7 \)
E. \( 9x^2+26x+27 \)
Klik untuk melihat Jawaban dan Analisis
Langkah 1 (susun komposisi): \( (f\circ g)(x)=f(g(x)) \).
Langkah 2 (substitusi \( g(x) \) ke \( f \)):
\( f(g(x))=(3x+5)^2-4(3x+5)+2 \).
Langkah 3 (hitung):
\( (3x+5)^2=9x^2+30x+25 \).
\( -4(3x+5)=-12x-20 \).
Sehingga \( f(g(x))=9x^2+30x+25-12x-20+2=9x^2+18x+7 \).
Jawaban: D yaitu \( 9x^2+18x+7 \).