Soal 16. Diketahui \(g(x)=\frac{x-1}{2x+1}\), \(x \ne -\frac{1}{2}\). Invers fungsi \(g(x)\) adalah \(g^{-1}(x)=\) ....
A. \(\frac{2x+1}{x-1}\), \(x \ne 1\)
B. \(\frac{x+1}{1-2x}\), \(x \ne \frac{1}{2}\)
C. \(\frac{x-2}{1-x}\), \(x \ne 1\)
D. \(\frac{1-2x}{x+1}\), \(x \ne -1\)
E. \(\frac{2x-1}{x+1}\), \(x \ne -1\)
Jawaban & Analisis Soal 16
Langkah 1: Misalkan \(y=g(x)\).
\(y=\frac{x-1}{2x+1}\).
Langkah 2: Kalikan silang lalu selesaikan untuk \(x\).
\(y(2x+1)=x-1\).
\(2xy+y=x-1\).
Pindahkan suku yang memuat \(x\):
\(2xy-x=-1-y\).
Faktorkan \(x\):
\(x(2y-1)=-(1+y)\).
Langkah 3: Nyatakan \(x\) sebagai fungsi \(y\).
\(x=\frac{-(1+y)}{2y-1}=\frac{1+y}{1-2y}\).
Langkah 4: Ganti \(y\) menjadi \(x\) untuk invers.
\(g^{-1}(x)=\frac{x+1}{1-2x}\).
Langkah 5: Tentukan syarat \(x\).
Penyebut \(1-2x \ne 0 \Rightarrow x \ne \frac{1}{2}\).
Jawaban benar: B yaitu \(\frac{x+1}{1-2x}\), \(x \ne \frac{1}{2}\).
Analisis opsi:
A adalah kebalikan pecahan langsung (salah karena invers fungsi bukan sekadar membalik pecahan).
B tepat sesuai hasil penyelesaian aljabar dan syarat domain.
C dan D bentuknya mirip hasil, tetapi tanda/koefisien pada penyebut tidak sesuai dari langkah \(x(2y-1)=-(1+y)\).
E muncul jika salah memindahkan tanda saat menyelesaikan persamaan.
Soal 17. Diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku ke-\(3\) \(=4\) dan suku ke-\(7\) \(=16\). Jumlah \(10\) suku pertama dari deret tersebut adalah ....
A. \(115\)
B. \(125\)
C. \(130\)
D. \(135\)
E. \(140\)
Jawaban & Analisis Soal 17
Langkah 1: Pakai rumus suku ke-\(n\) barisan aritmetika.
\(U_n=a+(n-1)d\).
Langkah 2: Bentuk persamaan dari \(U_3\) dan \(U_7\).
\(U_3=a+2d=4\). ... \((1)\)
\(U_7=a+6d=16\). ... \((2)\)
Langkah 3: Cari beda \(d\).
\((2)-(1)\Rightarrow 4d=12 \Rightarrow d=3\).
Langkah 4: Cari suku pertama \(a\).
Dari \((1)\): \(a+2(3)=4 \Rightarrow a+6=4 \Rightarrow a=-2\).
Langkah 5: Hitung jumlah \(10\) suku pertama.
Rumus jumlah \(n\) suku: \(S_n=\frac{n}{2}\left(2a+(n-1)d\right)\).
\(S_{10}=\frac{10}{2}\left(2(-2)+9(3)\right)\).
\(S_{10}=5\left(-4+27\right)=5(23)=115\).
Jawaban benar: A yaitu \(115\).
Soal 18. Sebuah bola tenis dijatuhkan dari ketinggian \(2\ \text{m}\) dan memantul kembali menjadi \(\frac{4}{5}\) tinggi sebelumnya. Panjang lintasan bola tenis tersebut sampai berhenti adalah ....
A. \(8\ \text{m}\)
B. \(16\ \text{m}\)
C. \(18\ \text{m}\)
D. \(24\ \text{m}\)
E. \(32\ \text{m}\)
Jawaban & Analisis Soal 18
Langkah 1: Pecah lintasan menjadi jatuh pertama dan pantulan-pantulan.
Jatuh pertama: \(2\ \text{m}\).
Setelah itu, setiap pantulan naik setinggi \(\frac{4}{5}\) dari sebelumnya lalu turun kembali dengan jarak yang sama.
Langkah 2: Tinggi pantulan membentuk barisan geometri.
Tinggi pantulan pertama: \(2\cdot\frac{4}{5}\).
Tinggi pantulan kedua: \(2\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^2\), dst.
Langkah 3: Total lintasan.
Total lintasan = jatuh pertama \(+\) \(2 \times\) (jumlah semua tinggi pantulan).
\(L = 2 + 2\sum_{k=1}^{\infty} 2\left(\frac{4}{5}\right)^k\).
Langkah 4: Hitung jumlah geometri.
\(\sum_{k=1}^{\infty} 2\left(\frac{4}{5}\right)^k = 2\cdot \frac{\frac{4}{5}}{1-\frac{4}{5}}=2\cdot \frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{5}}=2\cdot 4=8\).
Langkah 5: Substitusi ke \(L\).
\(L=2+2(8)=18\).
Jawaban benar: C yaitu \(18\ \text{m}\).
Soal 19. Diketahui matriks \(A=\begin{pmatrix}2 & -4\\ c & -7\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}a & 1\\ -3 & 0\end{pmatrix}\), dan \(C=\begin{pmatrix}4 & b\\ -2 & -7\end{pmatrix}\). Jika \(A=B+C\), maka nilai \(a+b+c\) adalah ....
A. \(-2\)
B. \(-3\)
C. \(-8\)
D. \(-10\)
E. \(-12\)
Jawaban & Analisis Soal 19
Langkah 1: Hitung \(B+C\) elemen per elemen.
\(B+C=\begin{pmatrix}a+4 & 1+b\\ -3+(-2) & 0+(-7)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+4 & b+1\\ -5 & -7\end{pmatrix}\).
Langkah 2: Samakan dengan \(A\).
\(\begin{pmatrix}a+4 & b+1\\ -5 & -7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -4\\ c & -7\end{pmatrix}\).
Dari posisi \((1,1)\): \(a+4=2 \Rightarrow a=-2\).
Dari posisi \((1,2)\): \(b+1=-4 \Rightarrow b=-5\).
Dari posisi \((2,1)\): \(-5=c \Rightarrow c=-5\).
Langkah 3: Hitung \(a+b+c\).
\(a+b+c=-2+(-5)+(-5)=-12\).
Jawaban benar: E yaitu \(-12\).
Soal 20. Titik \(P(-3,1)\) dipetakan oleh rotasi dengan pusat \(O\) sejauh \(90^\circ\), dilanjutkan dengan translasi \(T=\begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix}\). Peta titik \(P\) adalah ....
A. \(P''(2,1)\)
B. \(P''(0,3)\)
C. \(P''(2,7)\)
D. \(P''(4,7)\)
E. \(P''(4,1)\)
Jawaban & Analisis Soal 20
Langkah 1: Rotasi \(90^\circ\) berpusat di \(O\).
Konvensi rotasi \(90^\circ\) berlawanan arah jarum jam: \((x,y)\rightarrow (-y,x)\).
Dari \(P(-3,1)\) menjadi \(P'(-1,-3)\) karena \((-y,x)=(-1,-3)\).
Langkah 2: Translasi \(T=\begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix}\).
Translasi berarti tambah vektor \((3,4)\):
\(P'' = P' + (3,4)=(-1+3,\,-3+4)=(2,1)\).
Jawaban benar: A yaitu \(P''(2,1)\).
Analisis opsi:
B muncul jika hanya translasi tanpa rotasi.
C dan D muncul jika salah arah rotasi atau salah menambahkan translasi.
E muncul jika rotasi keliru menjadi \((y,-x)\).