Soal 16
Bu Ana membayar Rp\( 39.000,00 \) untuk membeli \( 3 \) kg jeruk dan \( 2 \) kg apel. Pada tempat yang sama Bu Ani membayar Rp\( 59.000,00 \) untuk membeli \( 2 \) kg jeruk dan \( 5 \) kg apel. Harga \( 1 \) kg jeruk adalah ....
A. Rp\( 6.500,00 \)
B. Rp\( 7.000,00 \)
C. Rp\( 7.500,00 \)
D. Rp\( 9.000,00 \)
E. Rp\( 11.000,00 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1: Misalkan harga jeruk per kg \( =x \) dan harga apel per kg \( =y \).
Dari soal diperoleh sistem:
\( 3x+2y=39000 \) dan \( 2x+5y=59000 \).
Langkah 2: Eliminasi \( y \).
Kalikan persamaan pertama dengan \( 5 \): \( 15x+10y=195000 \).
Kalikan persamaan kedua dengan \( 2 \): \( 4x+10y=118000 \).
Kurangkan: \( (15x+10y)-(4x+10y)=195000-118000 \Rightarrow 11x=77000 \Rightarrow x=7000 \).
Kesimpulan: harga \( 1 \) kg jeruk adalah Rp\( 7.000,00 \).
Soal 17
Perhatikan gambar.
Nilai minimum fungsi objektif \( f(x,y)=3x+4y \) pada daerah yang diarsir pada gambar adalah ....
A. \( 36 \)
B. \( 32 \)
C. \( 28 \)
D. \( 26 \)
E. \( 24 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: E
Langkah 1 (baca garis dari gambar): tampak dua garis batas melalui titik potong sumbu:
Garis 1 melalui \( (0,8) \) dan \( (8,0) \) sehingga persamaannya \( y=-x+8 \).
Garis 2 melalui \( (0,4) \) dan \( (12,0) \) sehingga persamaannya \( y=-\frac{1}{3}x+4 \).
Langkah 2 (titik pojok daerah arsiran): daerah arsiran berada di atas sumbu \( X \) dan diapit kedua garis, sehingga titik pojok yang relevan adalah:
\( (8,0) \) dari perpotongan garis 1 dengan sumbu \( X \), dan \( (12,0) \) dari perpotongan garis 2 dengan sumbu \( X \).
Titik potong kedua garis: \( -x+8=-\frac{1}{3}x+4 \Rightarrow -\frac{2}{3}x=-4 \Rightarrow x=6 \) dan \( y=2 \), jadi \( (6,2) \).
Langkah 3 (nilai fungsi di titik pojok): karena fungsi linear, nilai minimum terjadi di salah satu titik pojok.
\( f(8,0)=3(8)+4(0)=24 \).
\( f(12,0)=3(12)+4(0)=36 \).
\( f(6,2)=3(6)+4(2)=18+8=26 \).
Kesimpulan: nilai minimum adalah \( 24 \), sehingga jawabannya opsi E.
Soal 18
Sebuah pabrik memproduksi dua jenis barang. Barang jenis I dengan modal Rp\( 30.000,00 \) per buah memberi keuntungan Rp\( 4.000,00 \) per buah dan barang jenis II dengan modal Rp\( 25.000,00 \) per buah memberi keuntungan Rp\( 5.000,00 \) per buah. Jika seminggu dapat diproduksi \( 220 \) buah dan modal yang dimiliki Rp\( 6.000.000,00 \), maka keuntungan terbesar yang diperoleh adalah ....
A. Rp\( 800.000,00 \)
B. Rp\( 880.000,00 \)
C. Rp\( 1.000.000,00 \)
D. Rp\( 1.100.000,00 \)
E. Rp\( 1.200.000,00 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1 (model): Misalkan banyak barang jenis I \( =x \) dan jenis II \( =y \), dengan \( x \ge 0 \) dan \( y \ge 0 \).
Kendala jumlah produksi: \( x+y \le 220 \).
Kendala modal: \( 30000x+25000y \le 6000000 \Rightarrow 30x+25y \le 6000 \Rightarrow 6x+5y \le 1200 \).
Fungsi keuntungan: \( K=4000x+5000y \).
Langkah 2 (titik pojok):
Jika \( x=0 \), maka \( 6(0)+5y \le 1200 \Rightarrow y \le 240 \), tetapi juga \( y \le 220 \), jadi titik pojok \( (0,220) \).
Jika \( y=0 \), maka \( 6x \le 1200 \Rightarrow x \le 200 \), dan \( x \le 220 \), jadi titik pojok \( (200,0) \).
Titik potong \( x+y=220 \) dan \( 6x+5y=1200 \):
\( y=220-x \Rightarrow 6x+5(220-x)=1200 \Rightarrow x=100 \) dan \( y=120 \), jadi titik \( (100,120) \).
Langkah 3 (hitung keuntungan):
\( K(0,220)=4000(0)+5000(220)=1100000 \).
\( K(200,0)=4000(200)+5000(0)=800000 \).
\( K(100,120)=4000(100)+5000(120)=1000000 \).
Kesimpulan: keuntungan terbesar Rp\( 1.100.000,00 \) pada \( (0,220) \). Nilai ini \( \gt \) keuntungan di titik pojok lain, sehingga jawabannya opsi D.
Soal 19
Diketahui \( \begin{pmatrix}2x-1 & 4\\ 9 & x+y\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}3 & -1\\ -2 & x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 5 & 3\end{pmatrix} \). Nilai \( y-x \) adalah ....
A. \( -5 \)
B. \( -1 \)
C. \( 7 \)
D. \( 9 \)
E. \( 11 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: E
Langkah 1: Hitung ruas kiri.
\( 2\begin{pmatrix}3 & -1\\ -2 & x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & -2\\ -4 & 2x\end{pmatrix} \).
Jumlahkan:
\( \begin{pmatrix}2x-1 & 4\\ 9 & x+y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6 & -2\\ -4 & 2x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x+5 & 2\\ 5 & 3x+y\end{pmatrix} \).
Langkah 2: Samakan elemen matriks dengan \( \begin{pmatrix}1 & 2\\ 5 & 3\end{pmatrix} \).
Dari elemen kiri atas: \( 2x+5=1 \Rightarrow 2x=-4 \Rightarrow x=-2 \).
Dari elemen kanan bawah: \( 3x+y=3 \Rightarrow 3(-2)+y=3 \Rightarrow y=9 \).
Langkah 3: Hitung \( y-x \).
\( y-x=9-(-2)=11 \).
Soal 20
Diketahui matriks \( P=\begin{pmatrix}2 & 0\\ -1 & 1\end{pmatrix} \) dan \( Q=\begin{pmatrix}3 & -2\\ -1 & 4\end{pmatrix} \). Jika \( R=3P-2Q \), maka determinan \( R \) = ....
A. \( -4 \)
B. \( 1 \)
C. \( 4 \)
D. \( 7 \)
E. \( 14 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1: Hitung \( 3P \) dan \( 2Q \).
\( 3P=\begin{pmatrix}6 & 0\\ -3 & 3\end{pmatrix} \), dan \( 2Q=\begin{pmatrix}6 & -4\\ -2 & 8\end{pmatrix} \).
Langkah 2: Hitung \( R=3P-2Q \).
\( R=\begin{pmatrix}6-6 & 0-(-4)\\ -3-(-2) & 3-8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 4\\ -1 & -5\end{pmatrix} \).
Langkah 3: Determinan \( R \) untuk \( \begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix} \) adalah \( ad-bc \).
\( \det(R)=0\cdot(-5)-4\cdot(-1)=4 \).
Kesimpulan: \( \det(R)=4 \), sesuai opsi C.