Soal 21
Diketahui matriks \( A=\begin{pmatrix}2 & 3\\ 2 & -1\end{pmatrix} \) dan \( B=\begin{pmatrix}-1 & 3\\ 2 & -2\end{pmatrix} \). Jika matriks \( C=A-3B \), maka invers matriks \( C \) adalah \( C^{-1}= \) ....
A. \( \begin{pmatrix}3 & -9\\ -6 & 6\end{pmatrix} \)
B. \( \begin{pmatrix}-3 & 9\\ 6 & -6\end{pmatrix} \)
C. \( \begin{pmatrix}5 & -6\\ -4 & 5\end{pmatrix} \)
D. \( \begin{pmatrix}5 & 6\\ 4 & 5\end{pmatrix} \)
E. \( \begin{pmatrix}-5 & 6\\ 4 & -5\end{pmatrix} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1: Hitung \( 3B \).
\( 3B=\begin{pmatrix}3(-1) & 3(3)\\ 3(2) & 3(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & 9\\ 6 & -6\end{pmatrix} \).
Langkah 2: Hitung \( C=A-3B \).
\( C=\begin{pmatrix}2 & 3\\ 2 & -1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3 & 9\\ 6 & -6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & -6\\ -4 & 5\end{pmatrix} \).
Langkah 3: Tentukan \( \det(C) \) agar bisa diinvers.
\( \det(C)=5\cdot 5-(-6)(-4)=25-24=1 \), sehingga \( \det(C)\ne 0 \) dan matriks invers ada, dengan \( \det(C)\gt 0 \).
Langkah 4: Gunakan rumus invers matriks \( 2\times 2 \).
Jika \( C=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix} \), maka \( C^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\ -c & a\end{pmatrix} \).
Untuk \( C=\begin{pmatrix}5 & -6\\ -4 & 5\end{pmatrix} \), diperoleh
\( C^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}5 & 6\\ 4 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & 6\\ 4 & 5\end{pmatrix} \).
Soal 22
Diketahui matriks \( A=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix} \) dan \( B=\begin{pmatrix}4 & 3\\ 2 & 1\end{pmatrix} \). Matriks \( X \) yang memenuhi \( AX=B \) adalah ....
A. \( \begin{pmatrix}12 & 10\\ -10 & -8\end{pmatrix} \)
B. \( \begin{pmatrix}4 & -2\\ -3 & 1\end{pmatrix} \)
C. \( \begin{pmatrix}-6 & -5\\ 4 & 5\end{pmatrix} \)
D. \( \begin{pmatrix}5 & -6\\ 4 & 5\end{pmatrix} \)
E. \( \begin{pmatrix}-6 & -5\\ 5 & 4\end{pmatrix} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: E
Langkah 1: Dari \( AX=B \), jika \( A \) invertibel maka \( X=A^{-1}B \).
Langkah 2: Hitung \( \det(A) \).
\( \det(A)=1\cdot 4-2\cdot 3=4-6=-2 \), sehingga \( \det(A)\ne 0 \) dan invers \( A \) ada.
Langkah 3: Hitung \( A^{-1} \).
\( A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4 & -2\\ -3 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 & 1\\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2}\end{pmatrix} \).
Langkah 4: Kalikan \( X=A^{-1}B \).
\( X=\begin{pmatrix}-2 & 1\\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 & 3\\ 2 & 1\end{pmatrix} \).
Entri baris 1:
\( x_{11}=(-2)(4)+(1)(2)=-8+2=-6 \).
\( x_{12}=(-2)(3)+(1)(1)=-6+1=-5 \).
Entri baris 2:
\( x_{21}=\left(\frac{3}{2}\right)(4)+\left(-\frac{1}{2}\right)(2)=6-1=5 \).
\( x_{22}=\left(\frac{3}{2}\right)(3)+\left(-\frac{1}{2}\right)(1)=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}=4 \).
Kesimpulan: \( X=\begin{pmatrix}-6 & -5\\ 5 & 4\end{pmatrix} \), sesuai opsi E.
Soal 23
Diketahui deret aritmetika dengan suku ke-\( 3 \) adalah \( 3 \) dan suku ke-\( 8 \) adalah \( 23 \). Jumlah \( 20 \) suku pertama deret tersebut adalah ....
A. \( 656 \)
B. \( 660 \)
C. \( 664 \)
D. \( 668 \)
E. \( 672 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1: Rumus suku ke-\( n \) deret aritmetika \( a_n=a_1+(n-1)d \).
Dari \( a_3=3 \): \( a_1+2d=3 \).
Dari \( a_8=23 \): \( a_1+7d=23 \).
Langkah 2: Kurangkan kedua persamaan.
\( (a_1+7d)-(a_1+2d)=23-3 \Rightarrow 5d=20 \Rightarrow d=4 \).
Langkah 3: Cari \( a_1 \).
\( a_1+2(4)=3 \Rightarrow a_1=-5 \).
Langkah 4: Jumlah \( n \) suku pertama \( S_n=\frac{n}{2}\left(2a_1+(n-1)d\right) \).
\( S_{20}=\frac{20}{2}\left(2(-5)+19(4)\right)=10(-10+76)=10\cdot 66=660 \).
Soal 24
Suku ketiga dan suku keenam suatu deret geometri berturut-turut adalah \( -12 \) dan \( 96 \). Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah ....
A. \( -192 \)
B. \( -129 \)
C. \( -127 \)
D. \( 129 \)
E. \( 192 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1: Rumus suku ke-\( n \) deret geometri \( u_n=ar^{n-1} \).
Diketahui \( u_3=ar^2=-12 \) dan \( u_6=ar^5=96 \).
Langkah 2: Bagi \( u_6 \) dengan \( u_3 \) untuk mencari \( r \).
\( \frac{ar^5}{ar^2}=r^3=\frac{96}{-12}=-8 \Rightarrow r=-2 \).
Langkah 3: Cari \( a \) dari \( ar^2=-12 \).
\( a(-2)^2=-12 \Rightarrow 4a=-12 \Rightarrow a=-3 \).
Langkah 4: Jumlah \( 7 \) suku pertama \( S_7=a\frac{1-r^7}{1-r} \) dengan \( r\ne 1 \).
\( r^7=(-2)^7=-128 \Rightarrow 1-r^7=1-(-128)=129 \).
\( 1-r=1-(-2)=3 \).
\( S_7=-3\cdot\frac{129}{3}=-129 \).
Kesimpulan: karena \( S_7 \lt 0 \), nilai yang sesuai adalah \( -129 \).
Soal 25
Jumlah tak hingga deret geometri \( 64+8+1+\frac{1}{8}+\ldots \) adalah ....
A. \( 74\frac{1}{7} \)
B. \( 74\frac{1}{8} \)
C. \( 74 \)
D. \( 73\frac{1}{7} \)
E. \( 73\frac{1}{8} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1: Deret ini geometri dengan suku pertama \( a=64 \) dan rasio \( r=\frac{8}{64}=\frac{1}{8} \).
Langkah 2: Syarat jumlah tak hingga adalah \( |r| \lt 1 \). Karena \( \left|\frac{1}{8}\right|\lt 1 \), maka jumlah tak hingga ada.
Langkah 3: Rumus jumlah tak hingga \( S_{\infty}=\frac{a}{1-r} \).
\( S_{\infty}=\frac{64}{1-\frac{1}{8}}=\frac{64}{\frac{7}{8}}=64\cdot\frac{8}{7}=\frac{512}{7}=73\frac{1}{7} \).