Soal 1
Diberikan premis-premis sebagai berikut.
Premis 1: Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik.
Premis 2: Jika harga bahan pokok naik, maka semua orang tidak senang.
Ingkaran dari kesimpulan di atas adalah ....
A. Harga BBM tidak naik.
B. Jika harga bahan pokok naik, maka ada orang tidak senang.
C. Harga bahan pokok naik atau ada orang tidak senang.
D. Jika semua orang tidak senang, maka harga BBM naik.
E. Harga BBM naik dan ada orang yang senang.
Jawaban & Analisis
Kunci: E
Misalkan:
\(P\): Harga BBM naik
\(Q\): Harga bahan pokok naik
\(R\): Semua orang tidak senang
Premis 1: \(P \to Q\)
Premis 2: \(Q \to R\)
Kesimpulan: \(P \to R\)
Ingkaran dari implikasi \(P \to R\) adalah \(P \land \neg R\).
\(\neg R\) berarti tidak benar bahwa semua orang tidak senang, artinya ada orang yang senang.
Jadi ingkarannya adalah: Harga BBM naik dan ada orang yang senang (opsi E).
Soal 2
Akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 + (a-1)x + 2 = 0\) adalah \(\alpha\) dan \(\beta\). Jika \(\alpha = 2\beta\) dan \(a \gt 0\), maka nilai \(a\) adalah ....
A. \(2\)
B. \(3\)
C. \(4\)
D. \(6\)
E. \(8\)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Dari rumus Vieta:
\(\alpha + \beta = 1-a\)
\(\alpha\beta = 2\)
Substitusi \(\alpha = 2\beta\). Misal \(\beta = t\), maka \(\alpha = 2t\).
Produk: \(2t^2 = 2 \Rightarrow t^2 = 1\).
Jumlah: \(3t = 1-a \Rightarrow a = 1-3t\).
Jika \(t = 1\), maka \(a = -2\) (tidak memenuhi \(a \gt 0\)).
Jika \(t = -1\), maka \(a = 4\) (memenuhi \(a \gt 0\)).
Jadi \(a = 4\).
Soal 3
Akar-akar persamaan \(2x^2 + 3x - 2 = 0\) adalah \(\alpha\) dan \(\beta\). Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \(\dfrac{\alpha}{\beta}\) dan \(\dfrac{\beta}{\alpha}\) adalah ....
A. \(4x^2 + 17x + 4 = 0\)
B. \(4x^2 - 17x + 4 = 0\)
C. \(4x^2 + 17x - 4 = 0\)
D. \(9x^2 + 22x - 9 = 0\)
E. \(9x^2 - 22x - 9 = 0\)
Jawaban & Analisis
Kunci: A
Dari Vieta:
\(\alpha + \beta = -\dfrac{3}{2}\)
\(\alpha\beta = -1\)
Jumlah akar baru:
\(\dfrac{\alpha}{\beta} + \dfrac{\beta}{\alpha} = \dfrac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta}\).
\(\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = \dfrac{9}{4} + 2 = \dfrac{17}{4}\).
Jumlah baru = \(\dfrac{-17}{4}\), hasil kali = \(1\).
Persamaan: \(x^2 + \dfrac{17}{4}x + 1 = 0\). Kalikan 4 diperoleh \(4x^2 + 17x + 4 = 0\).
Soal 4
Untuk \(x\) yang memenuhi \({}^{2}\log(16^{\frac{2x-1}{4}}) = 8\), maka \(32x =\) ....
A. \(19\)
B. \(32\)
C. \(52\)
D. \(144\)
E. \(208\)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Karena \(16 = 2^4\), maka:
\(16^{\frac{2x-1}{4}} = 2^{2x-1}\).
\({}^{2}\log(2^{2x-1}) = 8 \Rightarrow 2x-1 = 8\).
\(2x = 9 \Rightarrow x = \dfrac{9}{2}\).
\(32x = 32 \cdot \dfrac{9}{2} = 144\).
Soal 5
Grafik fungsi kuadrat \(f(x) = x^2 + bx + 4\) menyinggung garis \(y = 3x + 4\). Nilai \(b\) yang memenuhi adalah ....
A. \(-4\)
B. \(-3\)
C. \(0\)
D. \(3\)
E. \(4\)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Samakan kedua persamaan:
\(x^2 + bx + 4 = 3x + 4\).
Diperoleh:
\(x^2 + (b-3)x = 0\).
Agar menyinggung, harus memiliki akar kembar:
\(0 = 3-b \Rightarrow b = 3\).
Jadi \(b = 3\).