Kunci: D

Langkah 1 (cermin terhadap sumbu \(X\)): Pencerminan terhadap sumbu \(X\) mengubah titik \((x,y)\) menjadi \((x,-y)\). Jadi, pada persamaan garis cukup ganti \(y\) menjadi \(-y\).

Dari \(y = 3x + 2\) menjadi \(-y = 3x + 2\) sehingga \(y = -3x - 2\).

Langkah 2 (rotasi \(\dfrac{\pi}{2}\) terhadap \(O\)): Rotasi berlawanan arah jarum jam sebesar \(\dfrac{\pi}{2}\) memetakan \((x,y)\) menjadi \((X,Y) = (-y,x)\).

Maka hubungan baliknya adalah \(x = Y\) dan \(y = -X\).

Langkah 3 (substitusi ke persamaan sebelum rotasi): Persamaan sebelum rotasi adalah \(y = -3x - 2\).

Substitusi \(x = Y\) dan \(y = -X\): \(-X = -3Y - 2\).

Sehingga \(X = 3Y + 2\) atau \(3Y - X + 2 = 0\).

Ganti kembali \((X,Y)\) menjadi \((x,y)\), didapat \(3y - x + 2 = 0\).

Kunci: \(C(2,15)\)

Catatan: Hasil perhitungan koordinat \(C\) dari data transformasi menghasilkan \(C(2,15)\). Jika opsi pada gambar berbeda/kurang jelas, gunakan hasil koordinat ini sebagai jawaban yang konsisten secara matematis.

Langkah 1 (susun matriks komposisi): Karena transformasi pertama lalu kedua, maka matriks komposisi adalah

\(M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & a+1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\).

Langkah 2 (kalikan matriks):

\(M = \begin{pmatrix} 2a+1 & 2a \\ -a-3 & 5-a \end{pmatrix}\).

Langkah 3 (gunakan data \(A(2,3) \mapsto A'(22,-1)\)):

\(M\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}22\\-1\end{pmatrix}\).

Komponen pertama: \((2a+1)\cdot 2 + (2a)\cdot 3 = 22 \Rightarrow 10a+2=22 \Rightarrow a=2\).

Langkah 4 (tentukan \(M\) saat \(a=2\)):

\(M=\begin{pmatrix}5 & 4 \\ -5 & 3\end{pmatrix}\).

Langkah 5 (gunakan \(C \mapsto C'(70,35)\)):

Misalkan \(C(x,y)\). Maka \(M\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}70\\35\end{pmatrix}\).

Artinya:

\(5x+4y=70\) dan \(-5x+3y=35\).

Langkah 6 (selesaikan SPL):

Jumlahkan kedua persamaan: \((5x-5x)+(4y+3y)=70+35 \Rightarrow 7y=105 \Rightarrow y=15\).

Substitusi ke \(5x+4y=70\): \(5x+60=70 \Rightarrow 5x=10 \Rightarrow x=2\).

Kesimpulan: \(C(2,15)\).

Kunci: D

Langkah 1 (misalkan harga per kg): Misalkan harga apel per kg \(= x\) dan harga jeruk per kg \(= y\).

Dari soal diperoleh sistem:

\(2x + 3y = 57000\) dan \(3x + 5y = 90000\).

Langkah 2 (eliminasi):

Kalikan persamaan pertama dengan \(3\): \(6x + 9y = 171000\).

Kalikan persamaan kedua dengan \(2\): \(6x + 10y = 180000\).

Kurangkan: \((6x+10y)-(6x+9y)=180000-171000 \Rightarrow y=9000\).

Langkah 3 (cari \(x\)):

Substitusi \(y=9000\) ke \(2x+3y=57000\): \(2x+27000=57000 \Rightarrow 2x=30000 \Rightarrow x=15000\).

Langkah 4 (belanja Surya dan kembalian):

Harga \(1\) kg apel \(+\) \(1\) kg jeruk \(= x+y = 15000+9000 = 24000\).

Kembalian \(= 100000-24000 = 76000\).

Kesimpulan: kembalian Surya \(= Rp76.000,00\).

Kunci: C

Langkah 1 (misalkan variabel): Misalkan jumlah toko tipe \(A = x\) dan tipe \(B = y\).

Langkah 2 (tulis kendala):

Kendala luas tanah: \(100x + 75y \le 10000\).

Kendala jumlah unit: \(x + y \le 125\).

Kendala nonnegatif: \(x \gt 0\) atau \(x = 0\), dan \(y \gt 0\) atau \(y = 0\).

Langkah 3 (fungsi keuntungan):

\(P = 7000000x + 4000000y\).

Langkah 4 (titik pojok daerah feasible):

Periksa titik-titik yang mudah:

1) \((x,y)=(0,125)\) memenuhi luas karena \(75\cdot 125 = 9375 \le 10000\).

2) \((x,y)=(100,0)\) memenuhi luas karena \(100\cdot 100 = 10000\) dan jumlah \(=100 \le 125\).

3) Perpotongan \(100x+75y=10000\) dengan \(x+y=125\): dari \(x=125-y\), maka \(100(125-y)+75y=10000\Rightarrow 12500-25y=10000\Rightarrow y=100\), sehingga \(x=25\). Jadi titik \((25,100)\).

Langkah 5 (nilai keuntungan di titik pojok):

Untuk \((0,125)\): \(P = 7000000(0)+4000000(125)=500000000\).

Untuk \((25,100)\): \(P = 7000000(25)+4000000(100)=175000000+400000000=575000000\).

Untuk \((100,0)\): \(P = 7000000(100)+4000000(0)=700000000\).

Kesimpulan: Keuntungan maksimum adalah \(Rp700.000.000,00\).

Kunci: A

Langkah 1 (transpose \(B\)):

\(B^t=\begin{pmatrix}4 & 2 \\ 1 & b+1\end{pmatrix}\).

Langkah 2 (hitung \(A \times B^t\)):

\(A \times B^t = \begin{pmatrix} a & 2 \\ 1 & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 & 2 \\ 1 & b+1\end{pmatrix}\).

Elemen-elemen hasil kali:

\((1,1):\ 4a+2\).

\((1,2):\ 2a+2(b+1)=2a+2b+2\).

\((2,1):\ 4+b\).

\((2,2):\ 2+b(b+1)=2+b^2+b\).

Langkah 3 (kurangi dengan \(C\)):

\(A\times B^t - C = \begin{pmatrix} (4a+2)-(-2) & (2a+2b+2)-b \\ (4+b)-(-a) & (2+b^2+b)-b^2 \end{pmatrix}\).

Sederhanakan:

\((1,1):\ 4a+4\).

\((1,2):\ 2a+b+2\).

\((2,1):\ a+b+4\).

\((2,2):\ b+2\).

Langkah 4 (samakan dengan matriks hasil):

Diketahui \(A\times B^t - C = \begin{pmatrix}0 & 2 \\ 5 & 4\end{pmatrix}\), maka:

\(4a+4=0 \Rightarrow a=-1\).

\(2a+b+2=2 \Rightarrow 2a+b=0 \Rightarrow b=-2a=2\).

Cek: \(a+b+4=-1+2+4=5\) benar, dan \(b+2=2+2=4\) benar.

Kesimpulan: \(a=-1\) dan \(b=2\).