Soal 36
Barisan bilangan aritmetika terdiri dari \( 21 \) suku. Suku tengah barisan tersebut adalah \( 52 \), sedangkan \( U_3 + U_5 + U_{15} = 106 \). Suku ke-\( 7 \) barisan tersebut adalah ....
A. \( 27 \)
B. \( 30 \)
C. \( 32 \)
D. \( 35 \)
E. \( 41 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Misalkan suku pertama \( a \) dan beda \( d \). Rumus suku ke-\( n \): \( U_n = a + (n-1)d \).
Karena jumlah suku \( 21 \), maka suku tengah adalah suku ke-\( \frac{21+1}{2} = 11 \). Diketahui \( U_{11}=52 \), sehingga: \( a + 10d = 52 \).
Diketahui pula: \( U_3 = a + 2d \), \( U_5 = a + 4d \), \( U_{15} = a + 14d \).
Jumlahnya: \( U_3 + U_5 + U_{15} = (a+2d) + (a+4d) + (a+14d) = 3a + 20d = 106 \).
Dari \( a + 10d = 52 \) diperoleh \( a = 52 - 10d \). Substitusikan ke \( 3a + 20d = 106 \): \( 3(52-10d) + 20d = 106 \).
\( 156 - 30d + 20d = 106 \Rightarrow 156 - 10d = 106 \Rightarrow -10d = -50 \Rightarrow d = 5 \).
Maka \( a = 52 - 10(5) = 2 \). Suku ke-\( 7 \): \( U_7 = a + 6d = 2 + 6(5) = 32 \).
Jadi jawaban benar adalah \( 32 \) (opsi C).
Soal 37
Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika suku ketiga ditambah \( 2 \), dan suku kedua dikurangi \( 2 \), diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan aritmetika ditambah \( 2 \) maka hasilnya menjadi empat kali suku pertama. Maka suku pertama deret aritmetika tersebut adalah ....
A. \( 4 \)
B. \( 6 \)
C. \( 8 \)
D. \( 12 \)
E. \( 14 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Misalkan tiga suku barisan aritmetika adalah \( a-d \), \( a \), \( a+d \).
Setelah diubah menjadi barisan geometri: suku kedua menjadi \( a-2 \), suku ketiga menjadi \( a+d+2 \), sedangkan suku pertama tetap \( a-d \). Maka tiga suku geometri: \( a-d \), \( a-2 \), \( a+d+2 \).
Syarat tiga suku geometri: kuadrat suku tengah sama dengan hasil kali suku pertama dan ketiga: \( (a-2)^2 = (a-d)(a+d+2) \).
Diketahui juga: suku ketiga aritmetika ditambah \( 2 \) menjadi empat kali suku pertama: \( (a+d)+2 = 4(a-d) \).
Dari \( a+d+2 = 4a-4d \) diperoleh: \( 5d = 3a - 2 \Rightarrow d = \frac{3a-2}{5} \).
Substitusi ke persamaan geometri (hasil akhirnya menghasilkan solusi yang sesuai pilihan): \( a = 14 \) dan \( d = 8 \).
Maka tiga suku aritmetika: \( a-d = 14-8 = 6 \), \( 14 \), \( 22 \). Cek syarat: Suku ketiga \( +2 \) menjadi \( 24 \), dan \( 24 = 4 \times 6 \) benar.
Cek geometri: Suku kedua \( -2 \) menjadi \( 12 \), suku ketiga \( +2 \) menjadi \( 24 \), sehingga \( 6, 12, 24 \) adalah geometri (rasio \( 2 \)).
Jadi suku pertamanya \( 6 \) (opsi B).
Soal 38
Sebuah ayunan mencapai lintasan pertama sejauh \( 90 \) cm, dan lintasan berikutnya hanya mencapai \( \frac{5}{8} \) dari lintasan sebelumnya. Panjang lintasan seluruhnya hingga ayunan berhenti adalah ....
A. \( 120 \) cm
B. \( 144 \) cm
C. \( 240 \) cm
D. \( 250 \) cm
E. \( 260 \) cm
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Lintasan membentuk deret geometri dengan suku pertama \( a = 90 \) dan rasio \( r = \frac{5}{8} \).
Jumlah lintasan sampai berhenti (jumlah tak hingga) karena \( |r| \lt 1 \): \( S = \frac{a}{1-r} \).
\( S = \frac{90}{1-\frac{5}{8}} = \frac{90}{\frac{3}{8}} = 90 \cdot \frac{8}{3} = 240 \).
Jadi panjang lintasan seluruhnya \( 240 \) cm (opsi C).
Soal 39
Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen berikut.
Persamaan grafik fungsi invers pada gambar adalah ....
A. \( {}^{2}\log x \)
B. \( {}^{\frac{1}{2}}\log x \)
C. \( 2\log x \)
D. \( -{}^{2}\log x \)
E. \( -{}^{\frac{1}{2}}\log x \)
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Dari grafik terlihat kurva eksponen menurun (semakin besar \( x \), nilai \( y \) semakin kecil), sehingga basis \( a \) memenuhi \( 0 \lt a \lt 1 \).
Pada gambar tampak titik-titik yang sesuai: saat \( x=-2 \) nilai \( y=4 \), saat \( x=-1 \) nilai \( y=2 \), dan saat \( x=0 \) nilai \( y=1 \).
Cek bentuk \( y=\left(\frac{1}{2}\right)^x \): \( \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4 \), \( \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2 \), \( \left(\frac{1}{2}\right)^{0} = 1 \). Semua cocok, jadi fungsi asalnya \( y=\left(\frac{1}{2}\right)^x \).
Fungsi invers dari \( y=\left(\frac{1}{2}\right)^x \) adalah dengan menukar \( x \) dan \( y \): \( x=\left(\frac{1}{2}\right)^y \).
Ubah ke bentuk logaritma: \( y = \log_{\frac{1}{2}} x \), yang ditulis sebagai \( {}^{\frac{1}{2}}\log x \).
Jadi persamaan grafik invers adalah \( {}^{\frac{1}{2}}\log x \) (opsi B).
Soal 40
Akar-akar persamaan \( 2^x + 2^{3-x} = 9 \) adalah \( \alpha \) dan \( \beta \). Nilai \( \alpha + \beta = \) ....
A. \( 3 \)
B. \( 4 \)
C. \( 6 \)
D. \( 8 \)
E. \( 9 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: A
Misalkan \( t = 2^x \). Karena \( 2^{3-x} = \frac{2^3}{2^x} = \frac{8}{t} \), persamaan menjadi: \( t + \frac{8}{t} = 9 \).
Kalikan \( t \) (dengan \( t \gt 0 \) karena \( 2^x \gt 0 \)): \( t^2 + 8 = 9t \Rightarrow t^2 - 9t + 8 = 0 \).
Faktorkan: \( (t-1)(t-8)=0 \Rightarrow t=1 \) atau \( t=8 \).
Jika \( t=1 \), maka \( 2^x=1 \Rightarrow x=0 \). Jika \( t=8 \), maka \( 2^x=8=2^3 \Rightarrow x=3 \).
Jadi \( \alpha \) dan \( \beta \) adalah \( 0 \) dan \( 3 \), maka \( \alpha+\beta = 3 \) (opsi A).