Soal 6
Akar-akar persamaan kuadrat \(2x^2+mx+16=0\) adalah \(\alpha\) dan \(\beta\). Jika \(\alpha=2\beta\) dan \(\alpha,\beta\) positif, maka nilai \(m=\) …
A. \(-12\)
B. \(-6\)
C. \(6\)
D. \(8\)
E. \(12\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: A
Dengan rumus Vieta untuk \(2x^2+mx+16=0\):
\(\alpha+\beta=-\dfrac{m}{2}\) dan \(\alpha\beta=\dfrac{16}{2}=8\).
Diketahui \(\alpha=2\beta\), maka:
\(\alpha\beta=(2\beta)\beta=2\beta^2=8 \Rightarrow \beta^2=4 \Rightarrow \beta=2\) (positif).
Sehingga \(\alpha=2\beta=4\). Jumlah akar:
\(\alpha+\beta=4+2=6\).
Samakan dengan \(-\dfrac{m}{2}\):
\(6=-\dfrac{m}{2}\Rightarrow m=-12\).
Soal 7
Jika \(p\) dan \(q\) adalah akar-akar persamaan \(x^2-5x-1=0\), maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \(2p+1\) dan \(2q+1\) adalah …
A. \(x^2+10x+11=0\)
B. \(x^2-10x+7=0\)
C. \(x^2-10x+11=0\)
D. \(x^2-12x+7=0\)
E. \(x^2-12x-7=0\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: D
Dari \(x^2-5x-1=0\), dengan Vieta diperoleh:
\(p+q=5\) dan \(pq=-1\).
Akar baru \(p'=2p+1\) dan \(q'=2q+1\).
Jumlah akar baru:
\(p'+q'=2(p+q)+2=2\cdot 5+2=12\).
Hasil kali akar baru:
\(p'q'=(2p+1)(2q+1)=4pq+2(p+q)+1=4(-1)+2\cdot 5+1=7\).
Persamaan barunya:
\(x^2-(p'+q')x+p'q'=0\Rightarrow x^2-12x+7=0\).
Soal 8
Persamaan garis singgung lingkaran \((x-3)^2+(y+5)^2=80\) yang sejajar dengan garis \(y-2x+5=0\) adalah …
A. \(y=2x-1 \pm 20\)
B. \(y=2x-8 \pm 20\)
C. \(y=2x-6 \pm 15\)
D. \(y=2x-8 \pm 15\)
E. \(y=2x-6 \pm 25\)
Jawaban & Analisis
Jawaban (hasil perhitungan): tidak ada opsi yang persis sama
Garis \(y-2x+5=0\) setara dengan \(y=2x-5\), sehingga semua garis yang sejajar berbentuk \(y=2x+k\) atau \(2x-y+k=0\).
Lingkaran \((x-3)^2+(y+5)^2=80\) memiliki pusat \((3,-5)\) dan jari-jari \(r=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\).
Syarat singgung: jarak pusat ke garis sama dengan \(r\):
\(\dfrac{|2(3)-(-5)+k|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=4\sqrt{5}\Rightarrow \dfrac{|11+k|}{\sqrt{5}}=4\sqrt{5}\Rightarrow |11+k|=20\).
Maka \(11+k=20\Rightarrow k=9\) atau \(11+k=-20\Rightarrow k=-31\).
Jadi dua garis singgungnya adalah \(y=2x+9\) dan \(y=2x-31\). Bentuk gabungannya bisa ditulis \(y=2x-11\pm 20\).
Jika pada naskah pilihan jawaban terdapat \(y=2x-11\pm 20\), itulah jawaban yang benar. Dari opsi yang tertulis pada gambar ini, tidak ada yang menghasilkan pasangan \(k=9\) dan \(k=-31\) sekaligus.
Soal 9
Diketahui fungsi \(f(x)=3x-5\) dan \(g(x)=\dfrac{4x-2}{6-4x}\), dengan \(x\ne \dfrac{3}{2}\). Nilai komposisi fungsi \((g\circ f)(2)\) adalah …
A. \(\dfrac{1}{4}\)
B. \(\dfrac{1}{2}\)
C. \(0\)
D. \(1\)
E. \(8\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: D
Komposisi \((g\circ f)(2)=g(f(2))\).
Hitung \(f(2)=3(2)-5=1\).
Substitusi ke \(g\):
\(g(1)=\dfrac{4(1)-2}{6-4(1)}=\dfrac{2}{2}=1\).
Cek domain \(g\): masukan \(x\ne \dfrac{3}{2}\), dan \(1 \lt \dfrac{3}{2}\), sehingga aman.
Soal 10
Jika \(f^{-1}(x)\) adalah invers dari fungsi \(f(x)=\dfrac{2x-4}{x-3}\), dengan \(x\ne 3\), maka nilai \(f^{-1}(4)=\) …
A. \(0\)
B. \(4\)
C. \(6\)
D. \(8\)
E. \(10\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: B
Nilai \(f^{-1}(4)\) artinya mencari \(x\) yang memenuhi \(f(x)=4\).
Setarakan:
\(\dfrac{2x-4}{x-3}=4\), dengan syarat \(x\ne 3\) (jadi \(x \lt 3\) atau \(x \gt 3\)).
Kalikan silang:
\(2x-4=4(x-3)=4x-12\).
Pindahkan ruas:
\(-4=2x-12\Rightarrow 8=2x\Rightarrow x=4\).
Jadi \(f^{-1}(4)=4\).