Soal 7. Diketahui \( A=\begin{pmatrix}2&3\\-1&-2\end{pmatrix} \), \( B=\begin{pmatrix}6&12\\-4&-10\end{pmatrix} \) dan \( A^2=xA+yB \). Nilai \( x+y \) = ....
A. \( -4 \)
B. \( -1 \)
C. \( -\frac{1}{2} \)
D. \( 1\frac{1}{2} \)
E. \( 2 \)
Jawaban & Analisis Soal EBT-SMA-00-07
Kunci: D
Hitung \( A^2 \): \( A^2=\begin{pmatrix}2&3\\-1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3\\-1&-2\end{pmatrix} \).
Perkalian elemen:
\( (1,1): 2\cdot2+3\cdot(-1)=4-3=1 \)
\( (1,2): 2\cdot3+3\cdot(-2)=6-6=0 \)
\( (2,1): (-1)\cdot2+(-2)\cdot(-1)=-2+2=0 \)
\( (2,2): (-1)\cdot3+(-2)\cdot(-2)=-3+4=1 \)
Jadi \( A^2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \). Karena \( A^2=xA+yB \), maka \( \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}2&3\\-1&-2\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}6&12\\-4&-10\end{pmatrix} \).
Samakan elemen-elemen (ambil dua persamaan yang mudah):
Dari elemen \( (1,1) \): \( 2x+6y=1 \)
Dari elemen \( (1,2) \): \( 3x+12y=0 \)
Selesaikan: dari \( 3x+12y=0 \Rightarrow x=-4y \). Substitusi ke \( 2x+6y=1 \): \( 2(-4y)+6y=1 \Rightarrow -8y+6y=1 \Rightarrow -2y=1 \Rightarrow y=-\frac{1}{2} \).
Maka \( x=-4\left(-\frac{1}{2}\right)=2 \). Jadi \( x+y=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2} \).
Soal 8. Diketahui fungsi \( f(x)=2x+1 \) dan \( (f\circ g)(x+1)=-2x^2-4x-1 \). Nilai \( g(-2) \) = ....
A. \( -5 \)
B. \( -4 \)
C. \( -1 \)
D. \( 1 \)
E. \( 5 \)
Jawaban & Analisis Soal EBT-SMA-00-08
Kunci: B
Karena \( (f\circ g)(x+1)=f(g(x+1)) \) dan \( f(t)=2t+1 \), maka \( f(g(x+1))=2g(x+1)+1 \).
Diketahui \( 2g(x+1)+1=-2x^2-4x-1 \). Pindahkan \( 1 \) ke kanan: \( 2g(x+1)=-2x^2-4x-2 \).
Bagi 2: \( g(x+1)=-x^2-2x-1=-(x^2+2x+1)=-(x+1)^2 \).
Misalkan \( u=x+1 \), maka \( g(u)=-u^2 \). Jadi \( g(-2)=-(-2)^2=-4 \).
Soal 9. Diketahui \( f(x)=\frac{2-3x}{4x+1} \), \( x\ne -\frac{1}{4} \). Jika \( f^{-1} \) adalah invers fungsi \( f \), maka \( f^{-1}(x-2)= \) ....
A. \( \frac{4-x}{4x-5} \), \( x\ne \frac{5}{4} \)
B. \( \frac{-x-4}{4x-5} \), \( x\ne \frac{5}{4} \)
C. \( \frac{-x+2}{4x+3} \), \( x\ne -\frac{3}{4} \)
D. \( \frac{x}{4x+3} \), \( x\ne -\frac{3}{4} \)
E. \( \frac{-x}{4x+5} \), \( x\ne -\frac{5}{4} \)
Jawaban & Analisis Soal EBT-SMA-00-09
Kunci: A
Misalkan \( y=f(x)=\frac{2-3x}{4x+1} \). Cari invers dengan menyelesaikan \( x \) dalam fungsi \( y \).
\( y(4x+1)=2-3x \Rightarrow 4xy+y=2-3x \). Pindahkan suku yang memuat \( x \) ke satu sisi: \( 4xy+3x=2-y \).
Faktorkan \( x \): \( x(4y+3)=2-y \Rightarrow x=\frac{2-y}{4y+3} \). Jadi \( f^{-1}(y)=\frac{2-y}{4y+3} \).
Sekarang substitusi \( y=x-2 \): \( f^{-1}(x-2)=\frac{2-(x-2)}{4(x-2)+3}=\frac{4-x}{4x-8+3}=\frac{4-x}{4x-5} \).
Syarat penyebut tidak nol: \( 4x-5\ne 0 \Rightarrow x\ne \frac{5}{4} \). Cocok dengan opsi A.
Soal 10. Nilai \( 2^x \) yang memenuhi \( 4^{x+2}=\sqrt[3]{16^{x+5}} \) adalah ....
A. \( 2 \)
B. \( 4 \)
C. \( 8 \)
D. \( 16 \)
E. \( 32 \)
Jawaban & Analisis Soal EBT-SMA-00-10
Kunci: D
Ubah ke basis 2: \( 4=2^2 \) dan \( 16=2^4 \). Maka \( 4^{x+2}=(2^2)^{x+2}=2^{2x+4} \).
Ruas kanan: \( \sqrt[3]{16^{x+5}}=(16^{x+5})^{\frac{1}{3}}=(2^4)^{\frac{x+5}{3}}=2^{\frac{4(x+5)}{3}}=2^{\frac{4x+20}{3}} \).
Karena basis sama, samakan pangkat: \( 2x+4=\frac{4x+20}{3} \). Kali 3: \( 6x+12=4x+20 \Rightarrow 2x=8 \Rightarrow x=4 \).
Maka \( 2^x=2^4=16 \).