Langkah 1: Rasionalkan penyebut.

\(\frac{x^2}{1-\sqrt{1+x^2}}\cdot \frac{1+\sqrt{1+x^2}}{1+\sqrt{1+x^2}} =\frac{x^2(1+\sqrt{1+x^2})}{1-(1+x^2)}\).

Langkah 2: Sederhanakan.

Penyebut: \(1-(1+x^2)=-x^2\).
Maka \(\frac{x^2(1+\sqrt{1+x^2})}{-x^2}=-(1+\sqrt{1+x^2})\).

Langkah 3: Substitusi limit \(x \to 0\).

\(\sqrt{1+x^2}\to \sqrt{1}=1\), sehingga limit \(=-(1+1)=-2\).

Jawaban benar: D.

Langkah 1: Rasionalkan penyebut.

\(\frac{\sin 2x}{3-\sqrt{2x+9}}\cdot \frac{3+\sqrt{2x+9}}{3+\sqrt{2x+9}} =\frac{\sin 2x\,(3+\sqrt{2x+9})}{9-(2x+9)}\).

Langkah 2: Sederhanakan penyebut.

\(9-(2x+9)=-2x\).
Maka \(\frac{\sin 2x\,(3+\sqrt{2x+9})}{-2x}= -\left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)\left(3+\sqrt{2x+9}\right)\).

Langkah 3: Gunakan limit dasar.

\(\lim_{x \to 0}\frac{\sin 2x}{2x}=1\) dan \(\sqrt{2x+9}\to 3\).
Jadi limit \(=-(1)(3+3)=-6\).

Jawaban benar: E.

Langkah 1: Pahami bentuk fungsi.

\(y=\sqrt{100-x^2}\) adalah setengah lingkaran bagian atas dengan jari-jari \(10\) dan pusat di \((0,0)\).

Langkah 2: Nilai maksimum terjadi saat \(x^2\) minimum.

Karena \(100-x^2\) paling besar ketika \(x^2\) paling kecil, maka ambil \(x=0\).
\(x=0\) berada pada interval \(-6 \le x \le 8\).

Langkah 3: Hitung nilai maksimum.

\(y_{\max}=\sqrt{100-0}=10\).

Jawaban benar: C.

Langkah 1: Kenali bentuk integral Beta.

\(\int_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n}\,dx=\frac{m!\,n!}{(m+n+1)!}\) untuk \(m,n\) bilangan bulat taknegatif.

Langkah 2: Samakan dengan bentuk soal.

\(\int_{0}^{1} 5x(1-x)^6\,dx=5\int_{0}^{1} x^{1}(1-x)^{6}\,dx\).
Di sini \(m=1\) dan \(n=6\).

Langkah 3: Hitung nilai integral.

\(\int_{0}^{1} x^{1}(1-x)^{6}\,dx=\frac{1!\,6!}{(1+6+1)!}=\frac{1\cdot 720}{8!}=\frac{720}{40320}=\frac{1}{56}\).

Maka \(\int_{0}^{1} 5x(1-x)^6\,dx=5\cdot \frac{1}{56}=\frac{5}{56}\).

Jawaban benar: C.

Langkah 1: Tentukan titik potong dengan sumbu \(X\).

\(x^3-1=0 \Rightarrow x=1\).
Jadi pada \([-1,1]\), \(x^3-1 \le 0\) dan pada \([1,2]\), \(x^3-1 \ge 0\).

Langkah 2: Luas = jumlah luas bagian bawah dan atas sumbu \(X\).

\(L=\int_{-1}^{1} \left(0-(x^3-1)\right)dx+\int_{1}^{2}\left((x^3-1)-0\right)dx\).
\(L=\int_{-1}^{1}(1-x^3)\,dx+\int_{1}^{2}(x^3-1)\,dx\).

Langkah 3: Hitung masing-masing integral.

\(\int_{-1}^{1}(1-x^3)\,dx=\left[x-\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^{1}=\left(1-\frac{1}{4}\right)-\left(-1-\frac{1}{4}\right)=2\).

\(\int_{1}^{2}(x^3-1)\,dx=\left[\frac{x^4}{4}-x\right]_{1}^{2}=\left(\frac{16}{4}-2\right)-\left(\frac{1}{4}-1\right)=2-\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{11}{4}\).

Langkah 4: Jumlahkan.

\(L=2+\frac{11}{4}=\frac{19}{4}=4\frac{3}{4}\).

Jawaban benar: E.