Konsep: panjang proyeksi ortogonal \( \vec{a} \) pada \( \vec{b} \) adalah \( \left|\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\lVert \vec{b}\rVert}\right| \).

Tulis komponen: \( \vec{a}=(-\sqrt{3},\,p,\,1) \) dan \( \vec{b}=(\sqrt{3},\,2,\,p) \).

Hasil kali titik: \( \vec{a}\cdot\vec{b}=(-\sqrt{3})(\sqrt{3})+p(2)+1(p)=-3+3p=3(p-1) \).

Panjang \( \vec{b} \): \( \lVert \vec{b}\rVert=\sqrt{(\sqrt{3})^2+2^2+p^2}=\sqrt{3+4+p^2}=\sqrt{p^2+7} \).

Diketahui \( \left|\frac{3(p-1)}{\sqrt{p^2+7}}\right|=\frac{2}{3} \). Kuadratkan kedua sisi:

\( \frac{9(p-1)^2}{p^2+7}=\frac{4}{9} \Rightarrow 81(p-1)^2=4(p^2+7) \).

\( 81(p^2-2p+1)=4p^2+28 \Rightarrow 77p^2-162p+53=0 \).

\( p=\frac{162\pm\sqrt{162^2-4\cdot 77\cdot 53}}{2\cdot 77}=\frac{162\pm\sqrt{9920}}{154}=\frac{162\pm 8\sqrt{155}}{154}=\frac{81\pm 4\sqrt{155}}{77} \).

Jawaban: \( p=\frac{81+4\sqrt{155}}{77} \) atau \( p=\frac{81-4\sqrt{155}}{77} \).

Catatan: hasil ini tidak cocok dengan pilihan A–E yang tercetak pada soal.

Langkah 1 (garis singgung): untuk lingkaran \( x^2+y^2=25 \), garis singgung di titik \( (x_1,y_1) \) adalah \( x_1x+y_1y=25 \).

Dengan \( (x_1,y_1)=(-3,4) \) diperoleh \( (-3)x+4y=25 \) atau \( -3x+4y-25=0 \).

Langkah 2 (jarak pusat ke garis): karena garis itu menyinggung lingkaran berpusat \( (10,5) \), maka jarak pusat ke garis sama dengan \( r \).

Rumus jarak titik \( (x_0,y_0) \) ke garis \( ax+by+c=0 \) adalah \( \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \).

Di sini \( a=-3 \), \( b=4 \), \( c=-25 \), dan \( (x_0,y_0)=(10,5) \).

\( r=\frac{|(-3)(10)+4(5)-25|}{\sqrt{(-3)^2+4^2}}=\frac{|-30+20-25|}{\sqrt{9+16}}=\frac{| -35 |}{5}=7 \).

Jawaban: C (\( 7 \)).

Ide: titik-titik yang jaraknya sama ke sebuah titik dan sebuah garis membentuk parabola (titik = fokus, garis = direktriks).

Ambil titik umum \( (x,y) \). Jarak ke fokus \( (1,2) \) adalah \( \sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2} \).

Jarak ke garis \( x=-1 \) adalah \( |x+1| \).

Samakan (kuadratkan): \( (x-1)^2+(y-2)^2=(x+1)^2 \).

Kembangkan: \( (x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)=x^2+2x+1 \).

Sederhanakan: \( y^2-4y-4x+4=0 \).

Jawaban: B (\( y^2-4y-4x+4=0 \)).

Langkah 1 (kuadrat sempurna):

\( 9x^2-18x+25y^2+100y-116=0 \)

\( 9(x^2-2x)+25(y^2+4y)-116=0 \)

\( 9((x-1)^2-1)+25((y+2)^2-4)-116=0 \)

\( 9(x-1)^2+25(y+2)^2-225=0 \Rightarrow 9(x-1)^2+25(y+2)^2=225 \)

Langkah 2 (bentuk baku): \( \frac{(x-1)^2}{25}+\frac{(y+2)^2}{9}=1 \).

Pusat \( (1,-2) \), \( a^2=25 \), \( b^2=9 \) sehingga \( c^2=a^2-b^2=25-9=16 \Rightarrow c=4 \).

Fokus: \( (h\pm c,k)=(1\pm 4,-2) \Rightarrow (5,-2) \) dan \( (-3,-2) \).

Jawaban: E (\( (5,-2) \) dan \( (-3,-2) \)).

Konsep: untuk \( \frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1 \), asimtotnya \( y-k=\pm \frac{b}{a}(x-h) \).

Di sini \( h=2 \), \( k=-1 \), \( a=4 \), \( b=3 \) sehingga \( y+1=\pm\frac{3}{4}(x-2) \).

Ambil tanda \( + \): \( y+1=\frac{3}{4}(x-2) \Rightarrow 4y+4=3x-6 \Rightarrow 3x-4y-10=0 \).

Jawaban: D (\( 3x-4y-10=0 \)).