Misalkan \(p\): “saya bermain” dan \(q\): “saya gagal dalam ujian”. Premis \(1\) menjadi \(p \lor \neg q\), dan premis \(2\) adalah \(q\).

Jika \(q\) benar, maka \(\neg q\) salah. Pada pernyataan \(p \lor \neg q\), agar bernilai benar saat \(\neg q\) salah, harus berlaku \(p\) benar. Ini adalah bentuk penalaran disjungtif: dari \(p \lor r\) dan \(\neg r\) diperoleh \(p\).

Jadi kesimpulan yang sah adalah “Saya bermain”. Jawaban: C.

Misalkan: \(P\): “semua siswa kelas XII Ujian Nasional” dan \(Q\): “semua siswa kelas X dan XI belajar di rumah”. Pernyataan soal adalah \(P \Rightarrow Q\).

Bentuk setara dari implikasi adalah: \(P \Rightarrow Q \equiv \neg P \lor Q\). Artinya: “tidak \(P\) atau \(Q\)”.

“\(\neg P\)” berarti “tidak semua siswa kelas XII Ujian Nasional”, yang setara dengan “beberapa siswa kelas XII tidak Ujian Nasional”. Sedangkan \(Q\) tetap “semua siswa kelas X dan XI belajar di rumah”. Jadi bentuknya menjadi: “beberapa siswa kelas XII tidak Ujian Nasional atau semua siswa kelas X dan XI belajar di rumah”.

Itu persis opsi C. Jawaban: C.

Sederhanakan bagian dalam kurung: \(\dfrac{4x^{\frac{5}{2}}y^{-\frac{7}{3}}z^{-\frac{3}{4}}}{2x^{-\frac{3}{2}}y^{\frac{2}{3}}z^{\frac{5}{4}}}\). Koefisiennya \(\dfrac{4}{2}=2\).

Gabungkan pangkat sejenis: \(x^{\frac{5}{2}-\left(-\frac{3}{2}\right)}=x^{\frac{8}{2}}=x^{4}\), \(y^{-\frac{7}{3}-\frac{2}{3}}=y^{-\frac{9}{3}}=y^{-3}\), \(z^{-\frac{3}{4}-\frac{5}{4}}=z^{-\frac{8}{4}}=z^{-2}\). Jadi bagian dalam kurung menjadi \(2x^{4}y^{-3}z^{-2}\).

Ubah ke bentuk pecahan: \(2x^{4}y^{-3}z^{-2}=\dfrac{2x^{4}}{y^{3}z^{2}}\). Sekarang kuadratkan: \(\left(\dfrac{2x^{4}}{y^{3}z^{2}}\right)^2=\dfrac{4x^{8}}{y^{6}z^{4}}\).

Jawaban: \(\dfrac{4x^{8}}{y^{6}z^{4}}\).

Gunakan identitas \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Dengan \(a=\sqrt{5}\) dan \(b=\sqrt{3}\), pembilang menjadi: \((\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=5-3=2\). Jadi bentuknya \(\dfrac{2}{\sqrt{3}+2}\).

Rasionalkan penyebut dengan mengalikan sekawan \((2-\sqrt{3})\): \(\dfrac{2}{\sqrt{3}+2}\cdot\dfrac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\dfrac{2(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}\). Penyebut: \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1\).

Maka hasilnya: \(\dfrac{2(2-\sqrt{3})}{1}=4-2\sqrt{3}\). Nilai ini jelas \( \lt 4 \) karena dikurangi \(2\sqrt{3}\) dengan \( \sqrt{3} \gt 0 \).

Jawaban: \(4-2\sqrt{3}\).

Ingat \({}^{a}\log b=\log_{a}b\) dengan syarat \(a \gt 0\), \(a \ne 1\), dan \(b \gt 0\). Semua basis pada soal memenuhi syarat tersebut.

Hitung \(\log_{9}8\): \(9=3^{2}\) dan \(8=2^{3}\), maka \(\log_{9}8=\dfrac{\log 2^{3}}{\log 3^{2}}=\dfrac{3\log 2}{2\log 3}=\dfrac{3}{2}\log_{3}2\).

Hitung \(\log_{16}27\): \(16=2^{4}\) dan \(27=3^{3}\), maka \(\log_{16}27=\dfrac{\log 3^{3}}{\log 2^{4}}=\dfrac{3\log 3}{4\log 2}=\dfrac{3}{4}\log_{2}3\).

Kalikan keduanya: \(\left(\dfrac{3}{2}\log_{3}2\right)\left(\dfrac{3}{4}\log_{2}3\right)=\dfrac{9}{8}\left(\log_{3}2\cdot\log_{2}3\right)\). Karena \(\log_{3}2=\dfrac{1}{\log_{2}3}\), maka \(\log_{3}2\cdot\log_{2}3=1\). Jadi \({}^{9}\log 8 \cdot {}^{16}\log 27=\dfrac{9}{8}\).

Hitung \(\log_{\sqrt{5}}25\): \(\sqrt{5}=5^{\frac{1}{2}}\) dan \(25=5^{2}\), maka \(\log_{5^{\frac{1}{2}}}5^{2}=\dfrac{2}{\frac{1}{2}}=4\). Jadi pembilang: \(\dfrac{9}{8}-4=\dfrac{9}{8}-\dfrac{32}{8}=-\dfrac{23}{8}\).

Sekarang penyebut: \(\log_{3}9=\log_{3}3^{2}=2\) dan \(\log_{3}\left(\dfrac{1}{27}\right)=\log_{3}3^{-3}=-3\). Maka penyebut \(=2+(-3)=-1\).

Nilai keseluruhan: \(\dfrac{-\frac{23}{8}}{-1}=\dfrac{23}{8}\). Jawaban: \(\dfrac{23}{8}\).