Soal 31
Icha akan meniup balon karet berbentuk bola. Ia menggunakan pompa untuk memasukkan udara dengan laju pertambahan volume \( 40 \,\text{cm}^3/\text{detik} \). Jika laju pertambahan jari-jari bola \( 20 \,\text{cm}/\text{detik} \), maka jari-jari bola setelah ditiup adalah ....
A. \( \frac{1}{\sqrt{\pi}} \,\text{cm} \)
B. \( \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \,\text{cm} \)
C. \( \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \,\text{cm} \)
D. \( \frac{2}{3\sqrt{\pi}} \,\text{cm} \)
E. \( \pi \,\text{cm} \)
Jawaban dan Analisis
Volume bola \( V=\frac{4}{3}\pi r^3 \). Turunkan terhadap waktu \( t \): \( \frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt} \).
Diketahui \( \frac{dV}{dt}=40 \) dan \( \frac{dr}{dt}=20 \), sehingga \( 40=4\pi r^2\cdot 20 \Rightarrow 40=80\pi r^2 \).
Maka \( r^2=\frac{40}{80\pi}=\frac{1}{2\pi} \). Karena \( r \gt 0 \), diperoleh \( r=\sqrt{\frac{1}{2\pi}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \).
Jadi jari-jari balon \( \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \,\text{cm} \). Jawaban: B.
Soal 32
Hasil \( \int 4x(4x^2-3)^4\,dx \) adalah ....
A. \( \frac{1}{10}(4x^2-3)^5+C \)
B. \( \frac{1}{5}(4x^2-3)^5+C \)
C. \( \frac{2}{5}(4x^2-3)^5+C \)
D. \( (4x^2-3)^5+C \)
E. \( 2(4x^2-3)^5+C \)
Jawaban dan Analisis
Gunakan substitusi \( u=4x^2-3 \), maka \( du=8x\,dx \) sehingga \( 4x\,dx=\frac{1}{2}du \). Karena \( \frac{1}{2} \gt 0 \), substitusi ini langsung bisa dipakai.
Integral menjadi \( \int 4x(4x^2-3)^4\,dx=\frac{1}{2}\int u^4\,du \).
\( \int u^4\,du=\frac{u^5}{5}+C \), sehingga \( \frac{1}{2}\cdot\frac{u^5}{5}+C=\frac{1}{10}u^5+C \).
Kembalikan \( u=4x^2-3 \) diperoleh \( \frac{1}{10}(4x^2-3)^5+C \). Jawaban: A.
Soal 33
Nilai dari \( \int_{1}^{4}\left(3\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx \) adalah ....
A. \( 20 \)
B. \( 12 \)
C. \( 8 \)
D. \( 4 \)
E. \( 2 \)
Jawaban dan Analisis
Ubah ke bentuk pangkat: \( 3\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}=3x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}} \). Integralkan per suku: \( \int 3x^{\frac{1}{2}}dx=3\cdot\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}=2x^{\frac{3}{2}} \), dan \( \int -x^{-\frac{1}{2}}dx=-\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}=-2x^{\frac{1}{2}} \).
Jadi antiturunannya \( F(x)=2x^{\frac{3}{2}}-2x^{\frac{1}{2}} \). Hitung \( F(4) \): \( F(4)=2\cdot 4^{\frac{3}{2}}-2\cdot 4^{\frac{1}{2}}=2\cdot 8-2\cdot 2=16-4=12 \).
Hitung \( F(1) \): \( F(1)=2\cdot 1^{\frac{3}{2}}-2\cdot 1^{\frac{1}{2}}=2-2=0 \).
Maka \( \int_{1}^{4}\left(3\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx=F(4)-F(1)=12-0=12 \), dan \( 12 \gt 0 \). Jawaban: B.
Soal 34
Hasil \( \int 4\sin 4x\cos 2x\,dx \) adalah ....
A. \( -\frac{1}{6}\cos 6x-\frac{1}{2}\cos 2x+C \)
B. \( -\frac{1}{3}\cos 6x-\cos 2x+C \)
C. \( \frac{1}{6}\cos 6x-\frac{1}{2}\cos 2x+C \)
D. \( \frac{1}{6}\cos 6x+\frac{1}{2}\cos 2x+C \)
E. \( \frac{1}{6}\cos 6x+\cos 2x+C \)
Jawaban dan Analisis
Gunakan identitas hasil kali ke jumlah: \( 2\sin A\cos B=\sin(A+B)+\sin(A-B) \). Dengan \( A=4x \) dan \( B=2x \), diperoleh \( 2\sin 4x\cos 2x=\sin 6x+\sin 2x \).
Maka \( 4\sin 4x\cos 2x=2(\sin 6x+\sin 2x) \), sehingga integral menjadi \( \int 4\sin 4x\cos 2x\,dx=\int 2\sin 6x\,dx+\int 2\sin 2x\,dx \).
\( \int 2\sin 6x\,dx=2\cdot\left(-\frac{1}{6}\cos 6x\right)=-\frac{1}{3}\cos 6x \). Selain itu, \( \int 2\sin 2x\,dx=2\cdot\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right)=-\cos 2x \).
Jadi hasilnya \( -\frac{1}{3}\cos 6x-\cos 2x+C \), dan \( -\frac{1}{3} \lt 0 \). Jawaban: B.
Soal 35
Nilai \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\cos 2x-\sin 2x)\,dx \) adalah ....
A. \( -1 \)
B. \( -\frac{1}{2} \)
C. \( 0 \)
D. \( \frac{1}{2} \)
E. \( 1 \)
Jawaban dan Analisis
Hitung integral per suku. \( \int \cos 2x\,dx=\frac{1}{2}\sin 2x \). Untuk suku kedua: \( \int -\sin 2x\,dx=\frac{1}{2}\cos 2x \), karena \( \frac{d}{dx}(\cos 2x)=-2\sin 2x \).
Jadi antiturunannya \( F(x)=\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 2x \).
Nilai di batas atas: \( F\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)+\frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 0=\frac{1}{2} \).
Nilai di batas bawah: \( F(0)=\frac{1}{2}\sin 0+\frac{1}{2}\cos 0=0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \).
Maka \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\cos 2x-\sin 2x)\,dx=F\left(\frac{\pi}{4}\right)-F(0)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0 \), dan \( 0 \lt 1 \). Jawaban: C.