Faktorkan fungsi: \[ y=x^3-x^2-6x=x(x^2-x-6)=x(x-3)(x+2). \] Titik potong dengan sumbu \(X\) adalah \(x=-2\), \(x=0\), dan \(x=3\).

Pada interval \((-2,0)\) grafik berada di atas sumbu \(X\), dan pada \((0,3)\) berada di bawah sumbu \(X\). Maka luas total adalah: \[ L=\int_{-2}^{0}(x^3-x^2-6x)\,dx-\int_{0}^{3}(x^3-x^2-6x)\,dx. \]

Integral tak tentu: \[ \int(x^3-x^2-6x)\,dx=\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}-3x^2. \] Hitung: \[ \int_{-2}^{0}= \left[0-\left(4+\frac{8}{3}-12\right)\right]=\frac{16}{3}, \] \[ \int_{0}^{3}= \left(\frac{81}{4}-9-27\right)=-\frac{63}{4}. \] Karena bernilai negatif, luasnya \(\frac{63}{4}\).

Total: \[ L=\frac{16}{3}+\frac{63}{4} =\frac{64}{12}+\frac{189}{12} =\frac{253}{12} =21\frac{1}{12}. \]

Jawaban: E

Titik potong dengan sumbu \(X\): \[ 2x-x^2=x(2-x)=0 \Rightarrow x=0 \text{ dan } x=2. \] Gunakan metode cakram: \[ V=\pi\int_{0}^{2}(2x-x^2)^2dx. \]

Kuadratkan: \[ (2x-x^2)^2=4x^2-4x^3+x^4. \] Maka: \[ V=\pi\int_{0}^{2}(4x^2-4x^3+x^4)dx. \]

Integral: \[ \frac{4x^3}{3}-x^4+\frac{x^5}{5}\Big|_{0}^{2} =\frac{32}{3}-16+\frac{32}{5}. \] Samakan penyebut \(15\): \[ \frac{160-240+96}{15} =\frac{16}{15}. \]

\[ V=\frac{16}{15}\pi. \]

Jawaban: E

Jawaban: B

Dari histogram, interval umur dan frekuensinya terbaca: \(0\text{–}9\) frekuensi \(3\), \(10\text{–}19\) frekuensi \(6\), \(20\text{–}29\) frekuensi \(9\), \(30\text{–}39\) frekuensi \(12\), \(40\text{–}49\) frekuensi \(5\), \(50\text{–}59\) frekuensi \(2\).

Kelas modus adalah kelas dengan frekuensi terbesar, yaitu \(30\text{–}39\) (frekuensi \(12\)).

Gunakan rumus modus data berkelompok:

\(Mo=L+\dfrac{d_1}{d_1+d_2}\cdot w\).

Tentukan komponen-komponennya:

\(L\) adalah tepi bawah kelas modus \(30\text{–}39\), jadi \(L=29{,}5\).

Lebar kelas \(w=10\).

\(d_1=f_1-f_0=12-9=3\) (selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya).

\(d_2=f_1-f_2=12-5=7\) (selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya).

Substitusikan:

\(Mo=29{,}5+\dfrac{3}{3+7}\cdot 10=29{,}5+\dfrac{3}{10}\cdot 10=29{,}5+3=32{,}5\).

Jawaban: B

Karena jabatan ketua, sekretaris, dan bendahara berbeda, maka urutan pemilihan penting (permutasi). Banyak cara memilih \(3\) orang berbeda dari \(20\) untuk \(3\) jabatan adalah:

\({}^{20}P_3=20\cdot 19\cdot 18\).

Hitung:

\(20\cdot 19=380\), lalu \(380\cdot 18=6840\).

Jadi banyak susunan pengurus yang mungkin adalah \(6840\).

Jawaban: C

Ini adalah peluang binomial: setiap tendangan dianggap percobaan independen, peluang sukses menahan adalah \(p=\frac{3}{5}\) dan gagal adalah \(q=1-p=\frac{2}{5}\). Banyak percobaan \(n=5\), dan yang diminta tepat \(k=3\) sukses, dengan \(0 \le k \le n\).

Rumus binomial:

\(P(X=3)=\binom{5}{3}\left(\frac{3}{5}\right)^3\left(\frac{2}{5}\right)^2\).

Hitung satu per satu:

\(\binom{5}{3}=10\).

\(\left(\frac{3}{5}\right)^3=\frac{27}{125}\) dan \(\left(\frac{2}{5}\right)^2=\frac{4}{25}\).

Kalikan:

\(P(X=3)=10\cdot \frac{27}{125}\cdot \frac{4}{25}=\frac{10\cdot 27\cdot 4}{3125}=\frac{1080}{3125}\).

Sederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut oleh \(5\):

\(\frac{1080}{3125}=\frac{216}{625}\).