Soal 6. Akar-akar persamaan kuadrat \( x^2+(p+1)x+8=0 \) adalah \( \alpha \) dan \( \beta \). Jika \( \alpha=\dfrac{1}{2}\beta \) dan \( \alpha,\beta \) positif, maka nilai \( p \) adalah ….
A. | \( 8 \) |
B. | \( 7 \) |
C. | \( 6 \) |
D. | \( -7 \) |
E. | \( -8 \) |
Jawaban dan Analisis Soal 6
Langkah 1 (rumus Vieta): Untuk \( x^2+(p+1)x+8=0 \), berlaku:
\( \alpha+\beta=-(p+1) \) dan \( \alpha\beta=8 \).
Langkah 2 (gunakan hubungan \( \alpha=\dfrac{1}{2}\beta \)):
\( \alpha=\dfrac{1}{2}\beta \Rightarrow \alpha\beta=\dfrac{1}{2}\beta^2 \).
Karena \( \alpha\beta=8 \), maka \( \dfrac{1}{2}\beta^2=8 \Rightarrow \beta^2=16 \Rightarrow \beta=4 \) (karena \( \beta \) positif).
Langkah 3 (tentukan \( \alpha \)):
\( \alpha=\dfrac{1}{2}\beta=\dfrac{1}{2}\cdot 4=2 \).
Langkah 4 (pakai jumlah akar):
\( \alpha+\beta=2+4=6 \).
Padahal \( \alpha+\beta=-(p+1) \), jadi \( -(p+1)=6 \Rightarrow p+1=-6 \Rightarrow p=-7 \).
Jawaban: D yaitu \( -7 \).
Soal 7. Batas-batas nilai \( p \) agar persamaan kuadrat \( x^2+(p+2)x+(p+5)=0 \) memiliki dua akar real dan berlainan adalah ….
A. | \( -2 \lt p \lt 2 \) |
B. | \( -4 \lt p \lt 4 \) |
C. | \( p \lt 2 \) atau \( p \gt 5 \) |
D. | \( p \lt -2 \) atau \( p \gt 2 \) |
E. | \( p \lt -4 \) atau \( p \gt 4 \) |
Jawaban dan Analisis Soal 7
Langkah 1 (syarat dua akar real berlainan): Diskriminan harus memenuhi \( \Delta \gt 0 \).
Untuk \( x^2+(p+2)x+(p+5)=0 \): \( a=1 \), \( b=p+2 \), \( c=p+5 \).
Maka \( \Delta=b^2-4ac=(p+2)^2-4(p+5) \).
Langkah 2 (sederhanakan):
\( (p+2)^2-4(p+5)=p^2+4p+4-4p-20=p^2-16 \).
Langkah 3 (gunakan syarat \( \Delta \gt 0 \)):
\( p^2-16 \gt 0 \Rightarrow p^2 \gt 16 \Rightarrow |p| \gt 4 \).
Jadi \( p \lt -4 \) atau \( p \gt 4 \).
Jawaban: E.
Soal 8. Dina, Ety, dan Feby belanja di toko yang sama. Dina membeli \( 5 \) bungkus mie dan \( 2 \) kaleng susu kental seharga \( \text{Rp}25.500,00 \). Ety membeli \( 10 \) bungkus mie dan \( 3 \) kaleng susu kental seharga \( \text{Rp}42.000,00 \). Jika Feby membeli \( 1 \) bungkus mie dan \( 1 \) kaleng susu kental, Feby harus membayar sebesar ….
A. | \( \text{Rp}13.000,00 \) |
B. | \( \text{Rp}12.000,00 \) |
C. | \( \text{Rp}10.500,00 \) |
D. | \( \text{Rp}11.000,00 \) |
E. | \( \text{Rp}12.500,00 \) |
Jawaban dan Analisis Soal 8
Langkah 1 (misalkan harga): Misal harga \( 1 \) bungkus mie \( =m \) dan harga \( 1 \) kaleng susu kental \( =s \).
Langkah 2 (buat persamaan):
Dina: \( 5m+2s=25500 \).
Ety: \( 10m+3s=42000 \).
Langkah 3 (eliminasi): Kalikan persamaan Dina dengan \( 2 \):
\( 10m+4s=51000 \).
Kurangkan dengan persamaan Ety \( 10m+3s=42000 \):
\( (10m+4s)-(10m+3s)=51000-42000 \Rightarrow s=9000 \).
Langkah 4 (cari \( m \)):
Substitusi ke \( 5m+2s=25500 \):
\( 5m+2(9000)=25500 \Rightarrow 5m+18000=25500 \Rightarrow 5m=7500 \Rightarrow m=1500 \).
Langkah 5 (biaya Feby):
Feby membeli \( 1 \) mie dan \( 1 \) susu: \( m+s=1500+9000=10500 \).
Jawaban: C yaitu \( \text{Rp}10.500,00 \).
Soal 9. Persamaan garis singgung pada lingkaran \( 2x^2+2y^2-4x+8y-8=0 \) yang sejajar dengan garis \( 5x+12y-15=0 \) adalah ….
A. |
\( 5x+12y-20=0 \) dan \( 5x+12y+58=0 \) |
B. |
\( 5x+12y-20=0 \) dan \( 5x+12y+20=0 \) |
C. |
\( 12x+5y-20=0 \) dan \( 12x+5y+20=0 \) |
D. |
\( 12x+5y=-20 \) dan \( 5x+12y=58 \) |
E. |
\( 5x+12y=-20 \) dan \( 5x+12y=58 \) |
Jawaban dan Analisis Soal 9
Langkah 1: Bagi \( 2 \): \( x^2+y^2-2x+4y-4=0 \).
Langkah 2: Lengkapi kuadrat:
\( (x-1)^2+(y+2)^2=9 \), pusat \( (1,-2) \), jari-jari \( r=3 \).
Langkah 3: Garis sejajar \( 5x+12y-15=0 \) berbentuk \( 5x+12y+c=0 \).
Langkah 4: Jarak pusat ke garis \( =r \):
\( \dfrac{|5(1)+12(-2)+c|}{\sqrt{5^2+12^2}}=3 \).
\( \sqrt{5^2+12^2}=13 \), sehingga \( \dfrac{|c-19|}{13}=3 \Rightarrow |c-19|=39 \).
Langkah 5: \( c-19=39 \Rightarrow c=58 \) atau \( c-19=-39 \Rightarrow c=-20 \).
Jadi garis singgung: \( 5x+12y+58=0 \) dan \( 5x+12y-20=0 \).
Jawaban: A.
Soal 10. Suku banyak berderajat \( 3 \), jika dibagi \( (x^2+2x-3) \) bersisa \( (3x-4) \), jika dibagi \( (x^2-x-2) \) bersisa \( (2x+3) \). Suku banyak tersebut adalah ….
A. | \( x^3-x^2-2x-1 \) |
B. | \( x^3+x^2-2x-1 \) |
C. | \( x^3+x^2+2x-1 \) |
D. | \( x^3+2x^2-x-1 \) |
E. | \( x^3+2x^2+x+1 \) |
Jawaban dan Analisis Soal 10
Langkah 1: Jika dibagi \( x^2+2x-3=(x+3)(x-1) \) bersisa \( 3x-4 \), maka:
\( P(1)=3(1)-4=-1 \) dan \( P(-3)=3(-3)-4=-13 \).
Langkah 2: Jika dibagi \( x^2-x-2=(x-2)(x+1) \) bersisa \( 2x+3 \), maka:
\( P(2)=2(2)+3=7 \) dan \( P(-1)=2(-1)+3=1 \).
Langkah 3: Cek opsi \( P(x)=x^3+x^2-2x-1 \):
\( P(1)=1+1-2-1=-1 \) (sesuai).
\( P(-3)=-27+9+6-1=-13 \) (sesuai).
\( P(2)=8+4-4-1=7 \) (sesuai).
\( P(-1)=-1+1+2-1=1 \) (sesuai).
Jawaban: B yaitu \( x^3+x^2-2x-1 \).