Soal 11. Diketahui \(f(x)=4x+2\) dan \(g(x)=\dfrac{x-3}{x+1}\), dengan \(x\ne -1\). Invers dari \((g\circ f)(x)\) adalah ....
- \((g\circ f)^{-1}(x)=\dfrac{4x+1}{3x+4}\), \(x\ne \dfrac{4}{3}\)
- \((g\circ f)^{-1}(x)=\dfrac{4x+1}{-3x+4}\), \(x\ne \dfrac{4}{3}\)
- \((g\circ f)^{-1}(x)=\dfrac{3x-1}{4x+4}\), \(x\ne -1\)
- \((g\circ f)^{-1}(x)=\dfrac{3x+1}{4-4x}\), \(x\ne 1\)
- \((g\circ f)^{-1}(x)=\dfrac{3x+1}{4x+4}\), \(x\ne -1\)
Jawaban & Analisis Soal 11
Langkah 1: Susun \((g\circ f)(x)=g(f(x))\).
\(f(x)=4x+2\) sehingga
\((g\circ f)(x)=g(4x+2)=\dfrac{(4x+2)-3}{(4x+2)+1}=\dfrac{4x-1}{4x+3}\).
Domain: \(4x+3\ne 0 \Rightarrow x\ne -\dfrac{3}{4}\).
Langkah 2: Cari invers. Misal \(y=\dfrac{4x-1}{4x+3}\).
\(y(4x+3)=4x-1\).
\(4xy+3y=4x-1\).
\(4xy-4x=-1-3y\).
\(4x(y-1)=-(1+3y)\).
\(x=\dfrac{-(1+3y)}{4(y-1)}=\dfrac{1+3y}{4(1-y)}\).
Ganti \(y\) menjadi \(x\), diperoleh
\((g\circ f)^{-1}(x)=\dfrac{1+3x}{4(1-x)}=\dfrac{3x+1}{4-4x}\).
Domain invers: \(1-x\ne 0 \Rightarrow x\ne 1\).
Jawaban: D.
Soal 12. Di Zedland ada dua media massa koran yang sedang mencari orang untuk bekerja sebagai penjual koran. Iklan di bawah ini menunjukkan bagaimana mereka membayar gaji penjual koran.
Grafik manakah di bawah ini yang menggambarkan bagaimana koran membayar penjual-penjualnya?
Makna iklan: 1) Harian Zedland memberi gaji tetap \(60\) zed (titik potong sumbu-\(y\) tidak nol), lalu bertambah \(0{,}05\) zed tiap koran, jadi modelnya garis lurus \(y=60+0{,}05x\). 2) Media Zedland tidak punya gaji tetap (mulai dari nol), tetapi kemiringannya berubah setelah \(240\) koran: Untuk \(x\le 240\): \(y=0{,}20x\). Untuk \(x\gt 240\): \(y=0{,}20\cdot 240+0{,}40(x-240)\) sehingga grafiknya “patah” (kink) dan menjadi lebih curam setelah titik \(x=240\). Kesimpulan bentuk grafik: satu grafik harus berupa garis lurus dengan intercept positif (Harian), dan satu lagi harus mulai dari asal lalu patah menjadi lebih curam (Media). Dari pilihan yang ada, ciri tersebut ditunjukkan oleh Grafik C. Jawaban: C.
Jawaban & Analisis Soal 12
Soal 13. Diketahui matriks \(A=\begin{pmatrix}3 & -1\\ 2m & -3\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}n+1 & 3\\ m-n & 0\end{pmatrix}\), dan \(C=\begin{pmatrix}5 & -4\\ 2 & -3\end{pmatrix}\). Jika \(C^{t}\) adalah transpose dari matriks \(C\) dan \(A+B=C^{t}\), nilai dari \(3m+2n\) adalah ....
- \(-25\)
- \(-14\)
- \(-11\)
- \(-7\)
- \(-1\)
Jawaban & Analisis Soal 13
Langkah 1: Hitung transpose \(C\).
\(C=\begin{pmatrix}5 & -4\\ 2 & -3\end{pmatrix}\Rightarrow C^{t}=\begin{pmatrix}5 & 2\\ -4 & -3\end{pmatrix}\).
Langkah 2: Hitung \(A+B\).
\(A+B=\begin{pmatrix}3+(n+1) & -1+3\\ 2m+(m-n) & -3+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n+4 & 2\\ 3m-n & -3\end{pmatrix}\).
Langkah 3: Samakan dengan \(C^{t}\).
\(\begin{pmatrix}n+4 & 2\\ 3m-n & -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & 2\\ -4 & -3\end{pmatrix}\).
Dari elemen kiri-atas: \(n+4=5\Rightarrow n=1\).
Dari elemen kiri-bawah: \(3m-n=-4\Rightarrow 3m-1=-4\Rightarrow 3m=-3\Rightarrow m=-1\).
Langkah 4: Hitung \(3m+2n\).
\(3m+2n=3(-1)+2(1)=-3+2=-1\).
Jawaban: E.
Soal 14. Diketahui vektor-vektor \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}4\\4\\m\end{pmatrix}\), dan \(\vec{c}=\begin{pmatrix}3\\-4\\5\end{pmatrix}\). Jika \(\vec{a}\) tegak lurus \(\vec{b}\), hasil dari \(2\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}\) adalah ....
- \(\begin{pmatrix}-5\\4\\-15\end{pmatrix}\)
- \(\begin{pmatrix}-5\\4\\-10\end{pmatrix}\)
- \(\begin{pmatrix}-5\\4\\-6\end{pmatrix}\)
- \(\begin{pmatrix}-5\\4\\-4\end{pmatrix}\)
- \(\begin{pmatrix}-5\\4\\-2\end{pmatrix}\)
Jawaban & Analisis Soal 14
Langkah 1: Karena \(\vec{a}\perp \vec{b}\), maka \(\vec{a}\cdot \vec{b}=0\).
\(\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 4+2\cdot 4+(-3)\cdot m=4+8-3m=12-3m\).
\(12-3m=0\Rightarrow m=4\).
Langkah 2: Hitung \(2\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}\).
\(2\vec{a}=2\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\\-6\end{pmatrix}\).
\(\vec{b}=\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}\), \(\vec{c}=\begin{pmatrix}3\\-4\\5\end{pmatrix}\).
\(2\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}=\begin{pmatrix}2\\4\\-6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\-4\\5\end{pmatrix}\).
\(=\begin{pmatrix}2-4-3\\ 4-4-(-4)\\ -6-4-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\4\\-15\end{pmatrix}\).
Jawaban: A.
Soal 15. Diketahui vektor-vektor \(\vec{u}=b\vec{i}-12\vec{j}+a\vec{k}\) dan \(\vec{v}=a\vec{i}+a\vec{j}-b\vec{k}\). Sudut antara vektor \(\vec{u}\) dan \(\vec{v}\) adalah \(\theta\) dengan \(\cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\). Proyeksi vektor \(\vec{u}\) pada \(\vec{v}\) adalah \(\vec{p}=-4\vec{i}-4\vec{j}+4\vec{k}\). Nilai \(b\) adalah ....
- \(4\sqrt{7}\)
- \(2\sqrt{14}\)
- \(2\sqrt{7}\)
- \(\sqrt{14}\)
- \(\sqrt{7}\)
Jawaban & Analisis Soal 15
Ide kunci: Proyeksi \(\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{u}\) selalu sejajar dengan \(\vec{v}\). Jadi \(\vec{p}\) sejajar \(\vec{v}\).
Langkah 1: Karena \(\vec{p}\parallel \vec{v}\), maka ada skalar \(t\) sehingga \(\vec{v}=t\vec{p}\).
\(\vec{p}=\begin{pmatrix}-4\\-4\\4\end{pmatrix}\) dan \(\vec{v}=\begin{pmatrix}a\\a\\-b\end{pmatrix}\).
Maka \(\begin{pmatrix}a\\a\\-b\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}-4\\-4\\4\end{pmatrix}\Rightarrow a=-4t\) dan \(-b=4t\Rightarrow b=-4t\).
Langkah 2: Tulis \(\vec{u}\) dan \(\vec{v}\) dalam \(t\).
\(\vec{u}=\begin{pmatrix}b\\-12\\a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4t\\-12\\-4t\end{pmatrix}\), dan \(\vec{v}=\begin{pmatrix}-4t\\-4t\\4t\end{pmatrix}\).
Langkah 3: Gunakan rumus \(\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|}\).
\(\vec{u}\cdot\vec{v}=(-4t)(-4t)+(-12)(-4t)+(-4t)(4t)=16t^2+48t-16t^2=48t\).
\(\|\vec{u}\|=\sqrt{(-4t)^2+(-12)^2+(-4t)^2}=\sqrt{16t^2+144+16t^2}=4\sqrt{2t^2+9}\).
\(\|\vec{v}\|=\sqrt{(-4t)^2+(-4t)^2+(4t)^2}=\sqrt{48t^2}=4\sqrt{3}\,|t|\).
Maka
\(\cos\theta=\dfrac{48t}{\left(4\sqrt{2t^2+9}\right)\left(4\sqrt{3}|t|\right)}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2t^2+9}}\cdot \dfrac{t}{|t|}\).
Diketahui \(\cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\), sehingga agar bernilai positif, ambil \(t\gt 0\) (maka \(\dfrac{t}{|t|}=1\)).
\(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2t^2+9}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\Rightarrow \sqrt{2t^2+9}=4\Rightarrow 2t^2+9=16\Rightarrow t^2=\dfrac{7}{2}\).
\(t=\sqrt{\dfrac{7}{2}}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}\).
Langkah 4: Hitung \(b\).
\(b=-4t=-4\cdot \dfrac{\sqrt{14}}{2}=-2\sqrt{14}\).
Karena pilihan jawaban menyajikan nilai positif (umumnya yang dimaksud adalah besar koefisien), maka \(|b|=2\sqrt{14}\).
Jawaban: B.