Karena terbentuk barisan geometri dengan \(5\) suku, misalkan suku-sukunya: \( a, ar, ar^2, ar^3, ar^4 \). Diketahui suku terpendek \(a=16\) dan suku terpanjang \(ar^4=81\).

Maka \( 16r^4=81 \Rightarrow r^4=\dfrac{81}{16}=\dfrac{3^4}{2^4} \Rightarrow r=\dfrac{3}{2} \).

Jumlah \(5\) suku pertama barisan geometri: \( S_5=a\dfrac{r^5-1}{r-1} \).

\( S_5=16\cdot \dfrac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^5-1}{\dfrac{3}{2}-1} =16\cdot \dfrac{\dfrac{243}{32}-1}{\dfrac{1}{2}} =16\cdot \left(\dfrac{\dfrac{211}{32}}{\dfrac{1}{2}}\right) =16\cdot \left(\dfrac{211}{32}\cdot 2\right) =16\cdot \dfrac{211}{16} =211.

Jadi panjang kawat semula \(211\) cm.

Jawaban: D

Gunakan koordinat kubus dengan rusuk \(a=9\): \(A(0,0,0)\), \(C(9,9,0)\), \(F(9,0,9)\), \(H(0,9,9)\).

Titik tengah \(T\) pada \(HF\): \( T=\left(\dfrac{0+9}{2},\dfrac{9+0}{2},\dfrac{9+9}{2}\right)=(4{,}5,4{,}5,9) \).

Vektor arah garis \(CT\): \( \overrightarrow{CT}=T-C=(4{,}5-9,4{,}5-9,9-0)=(-4{,}5,-4{,}5,9) \).

Vektor dari \(C\) ke \(A\): \( \overrightarrow{CA}=A-C=(-9,-9,0) \).

Jarak titik \(A\) ke garis \(CT\) adalah \( d=\dfrac{\left\lVert \overrightarrow{CA}\times \overrightarrow{CT}\right\rVert}{\left\lVert \overrightarrow{CT}\right\rVert} \).

Sederhanakan skala: \( \overrightarrow{CT}=4{,}5(-1,-1,2) \) dan \( \overrightarrow{CA}=9(-1,-1,0) \). Ambil \( v=(-1,-1,2) \) dan \( w=(-1,-1,0) \).

\( w\times v =(-1,-1,0)\times(-1,-1,2)=(-2,2,0) \), sehingga \( \|w\times v\|=\sqrt{(-2)^2+2^2+0^2}=2\sqrt{2} \).

Maka \( \|\overrightarrow{CA}\times \overrightarrow{CT}\| =9\cdot 4{,}5 \cdot \|w\times v\| =40{,}5\cdot 2\sqrt{2} =81\sqrt{2} \).

Selain itu \( \|\overrightarrow{CT}\|=4{,}5\|v\| \) dan \( \|v\|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{6} \), jadi \( \|\overrightarrow{CT}\|=4{,}5\sqrt{6} \).

\( d=\dfrac{81\sqrt{2}}{4{,}5\sqrt{6}}=18\sqrt{\dfrac{2}{6}}=18\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{18}{\sqrt{3}}=6\sqrt{3} \).

Jawaban: C

Sudut antara garis dan bidang memenuhi: \( \sin \alpha=\dfrac{|\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{n}|}{\|\overrightarrow{u}\|\ \|\overrightarrow{n}\|} \), dengan \( \overrightarrow{u} \) vektor arah garis, dan \( \overrightarrow{n} \) vektor normal bidang.

Garis \(AE\) tegak lurus bidang alas, sehingga vektor arahnya dapat diambil \( \overrightarrow{u}=(0,0,1) \).

Bidang \(AFH\) memiliki vektor normal searah \( (1,1,-1) \), sehingga ambil \( \overrightarrow{n}=(1,1,-1) \).

Hitung: \( |\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{n}|=|(0,0,1)\cdot(1,1,-1)|=|-1|=1 \), \( \|\overrightarrow{u}\|=1 \), dan \( \|\overrightarrow{n}\|=\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{3} \).

Maka \( \sin \alpha=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{1}{3}\sqrt{3} \).

Jawaban: C

Dari gambar: \(AD=10\) cm, \(BC=14\) cm, sudut \( \angle DAB=45^\circ \), sudut \( \angle ABD=30^\circ \), dan sudut \( \angle DBC=45^\circ \). Diagonal \(BD\) membentuk segitiga \(ABD\) dan segitiga \(BDC\).

Pada segitiga \(ABD\): \( \angle A=45^\circ \), \( \angle B=30^\circ \), maka \( \angle D=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ \).

Dengan aturan sinus: \( \dfrac{BD}{\sin 45^\circ}=\dfrac{AD}{\sin 30^\circ} \Rightarrow BD=AD\cdot \dfrac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} =10\cdot \dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{1}{2}} =10\sqrt{2}.

Pada segitiga \(BDC\), diketahui \(BD=10\sqrt{2}\), \(BC=14\), dan sudut apit di \(B\) adalah \(45^\circ\). Gunakan aturan cosinus: \( CD^2=BD^2+BC^2-2\cdot BD\cdot BC\cdot \cos 45^\circ \).

\( CD^2=(10\sqrt{2})^2+14^2-2\cdot(10\sqrt{2})\cdot 14 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} =200+196-280 =116.

Jadi \( CD=\sqrt{116}=2\sqrt{29} \).

Jawaban: D

Misalkan \( c=\cos x \). Maka persamaan menjadi \( 2c^2+5c-3=0 \).

Gunakan rumus kuadrat: \( c=\dfrac{-5\pm \sqrt{25-4(2)(-3)}}{2\cdot 2} =\dfrac{-5\pm \sqrt{25+24}}{4} =\dfrac{-5\pm 7}{4}.

Diperoleh \( c=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2} \) atau \( c=\dfrac{-12}{4}=-3 \). Karena \( \cos x \) selalu memenuhi \( -1 \le \cos x \le 1 \), maka \( -3 \) ditolak.

Jadi \( \cos x=\dfrac{1}{2} \). Pada interval \( 0 \le x \le 360 \), solusi adalah \( x=60 \) dan \( x=300 \).

Jawaban: E