Kunci: B

Gunakan rumus integral pangkat: \( \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \). Maka, \( \int (x^3+3x^2+4x+5)\,dx=\frac{x^4}{4}+x^3+2x^2+5x \).

Hitung nilai di batas atas \( x=2 \): \( F(2)=\frac{2^4}{4}+2^3+2(2^2)+5(2)=\frac{16}{4}+8+8+10=4+8+8+10=30 \).

Hitung nilai di batas bawah \( x=-1 \): \( F(-1)=\frac{(-1)^4}{4}+(-1)^3+2(-1)^2+5(-1)=\frac{1}{4}-1+2-5 \). Gabungkan: \( -1+2-5=-4 \), jadi \( F(-1)=\frac{1}{4}-4=-\frac{15}{4} \).

Maka, \( \int_{-1}^{2} (x^3+3x^2+4x+5)\,dx = F(2)-F(-1)=30-(-\frac{15}{4})=30+\frac{15}{4}=\frac{120}{4}+\frac{15}{4}=\frac{135}{4} \).

Ubah ke bentuk campuran: \( \frac{135}{4}=33\frac{3}{4} \). Jadi jawabannya \( 33\frac{3}{4} \) (opsi B).

Kunci: C

Gunakan identitas trigonomi: \( \sin a \cos a=\frac{1}{2}\sin(2a) \). Dengan \( a=2x \), diperoleh \( \sin 2x \cos 2x=\frac{1}{2}\sin 4x \).

Maka integral menjadi \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \cos 2x\,dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}\sin 4x\,dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 4x\,dx \).

Hitung integral: \( \int \sin 4x\,dx=-\frac{1}{4}\cos 4x \). Jadi, \( \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 4x\,dx=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{4}\cos 4x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =-\frac{1}{8}\left(\cos(4\cdot\frac{\pi}{2})-\cos(4\cdot 0)\right) \).

\( 4\cdot\frac{\pi}{2}=2\pi \), sehingga \( \cos 2\pi=1 \) dan \( \cos 0=1 \). Maka hasilnya \( -\frac{1}{8}(1-1)=0 \). Jadi jawabannya \( 0 \) (opsi C).

Kunci: E

Pakai substitusi (cara SMA): ambil \( u=\sin(5x) \) sehingga \( \frac{du}{dx}=5\cos(5x) \) dan \( du=5\cos(5x)\,dx \). Maka \( \cos(5x)\,dx=\frac{1}{5}du \).

Integral menjadi: \( \int \sin^2(5x)\cos(5x)\,dx=\int u^2\left(\frac{1}{5}du\right)=\frac{1}{5}\int u^2\,du \).

Hitung: \( \int u^2\,du=\frac{u^3}{3} \), jadi \( \frac{1}{5}\cdot\frac{u^3}{3}=\frac{u^3}{15}+C \). Kembalikan \( u=\sin(5x) \): \( \frac{1}{15}\sin^3(5x)+C \). Cocok dengan opsi E.

Kunci: C

Dari gambar, batas atas daerah adalah kurva yang melalui \( (0,0) \) dan \( (4,4) \) dengan bentuk akar, yaitu \( y=2\sqrt{x} \). Garis miring yang melalui \( (2,0) \) dan \( (4,4) \) adalah \( y=2x-4 \).

Perhatikan bagian bawah daerah: untuk \( 0\le x\le 2 \), garis \( y=2x-4 \) berada di bawah sumbu \( x \) (nilai \( y \) negatif), sehingga daerah yang diarsir bagian bawahnya adalah sumbu \( x \) (yaitu \( y=0 \)). Artinya, pada selang \( 0 \) sampai \( 4 \), luas “dasar” yang mudah adalah luas di bawah \( y=2\sqrt{x} \).

Namun untuk \( 2\le x\le 4 \), garis \( y=2x-4 \) sudah berada di atas sumbu \( x \), sehingga bagian yang “harus dikurangi” dari luas di bawah kurva adalah luas di bawah garis tersebut pada selang \( 2 \) sampai \( 4 \).

Jadi rumus luasnya: \( \int_{0}^{4} 2\sqrt{x}\,dx-\int_{2}^{4} (2x-4)\,dx \), yaitu opsi C.

Kunci: B

Karena diputar mengelilingi sumbu \( Y \), gunakan metode cakram (washer) terhadap \( y \): \( V=\pi\int (r(y))^2\,dy \), dengan \( r(y) \) adalah jarak dari sumbu \( Y \) ke batas kanan daerah (nilai \( x \)).

Batas kanan daerah berubah: untuk \( y \) kecil, batas kanan oleh parabola \( x=2\sqrt{3}\,y^2 \), sedangkan untuk \( y \) besar mendekati \( 1 \), batas kanan oleh lingkaran \( x=\sqrt{1-y^2} \). Cari titik perpotongan parabola dan lingkaran.

Substitusi \( x=2\sqrt{3}\,y^2 \) ke \( x^2+y^2=1 \): \( (2\sqrt{3}\,y^2)^2+y^2=1 \Rightarrow 12y^4+y^2=1 \). Misalkan \( t=y^2 \), maka \( 12t^2+t-1=0 \). Diperoleh \( t=\frac{-1+\sqrt{1+48}}{24}=\frac{-1+7}{24}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4} \), sehingga \( y=\frac{1}{2} \) (karena kuadran \( 1 \)).

Jadi:
• untuk \( 0\le y\le \frac{1}{2} \), \( r(y)=2\sqrt{3}\,y^2 \)
• untuk \( \frac{1}{2}\le y\le 1 \), \( r(y)=\sqrt{1-y^2} \)

Maka volume: \( V=\pi\left(\int_{0}^{\frac{1}{2}} (2\sqrt{3}\,y^2)^2\,dy + \int_{\frac{1}{2}}^{1} (\sqrt{1-y^2})^2\,dy\right) \). Sederhanakan: \( (2\sqrt{3}\,y^2)^2=12y^4 \) dan \( (\sqrt{1-y^2})^2=1-y^2 \).

Hitung integral pertama: \( \int_{0}^{\frac{1}{2}} 12y^4\,dy=12\left[\frac{y^5}{5}\right]_{0}^{\frac{1}{2}} =12\cdot\frac{(\frac{1}{2})^5}{5}=12\cdot\frac{\frac{1}{32}}{5}=\frac{12}{160}=\frac{3}{40} \).

Hitung integral kedua: \( \int_{\frac{1}{2}}^{1} (1-y^2)\,dy=\left[y-\frac{y^3}{3}\right]_{\frac{1}{2}}^{1} \). Nilai di \( 1 \): \( 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} \). Nilai di \( \frac{1}{2} \): \( \frac{1}{2}-\frac{(\frac{1}{2})^3}{3}=\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{8}}{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{24}=\frac{11}{24} \). Selisih: \( \frac{2}{3}-\frac{11}{24}=\frac{16}{24}-\frac{11}{24}=\frac{5}{24} \).

Jadi \( V=\pi\left(\frac{3}{40}+\frac{5}{24}\right)=\pi\left(\frac{9}{120}+\frac{25}{120}\right)=\pi\cdot\frac{34}{120}=\pi\cdot\frac{17}{60} \). Cocok dengan opsi B.