Soal 1.
Nilai dari \( \dfrac{(125)^{\frac{1}{3}}-(81)^{\frac{1}{4}}}{(8)^{\frac{1}{3}}+(25)^{\frac{1}{2}}} \) adalah ....
A. \( \dfrac{2}{7} \)
B. \( \dfrac{2}{4} \)
C. \( \dfrac{5}{7} \)
D. \( 1 \)
E. \( \dfrac{8}{7} \)
Jawaban & Analisis
Jawaban: A
Gunakan sifat pangkat pecahan \( a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} \).
Pembilang:
\( (125)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{125}=5 \).
\( (81)^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{81}=3 \) karena \( 81=3^4 \).
Jadi pembilang \( =5-3=2 \).
Penyebut:
\( (8)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2 \).
\( (25)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{25}=5 \).
Jadi penyebut \( =2+5=7 \).
Maka nilai pecahan:
\( \dfrac{2}{7} \).
Analisis opsi:
A benar karena hasil tepat \( \dfrac{2}{7} \).
B salah karena \( \dfrac{2}{4} \neq \dfrac{2}{7} \).
C salah karena pembilangnya bukan \( 5 \), melainkan \( 2 \).
D salah karena hasilnya kurang dari \( 1 \), yaitu \( \dfrac{2}{7} \).
E salah karena \( \dfrac{8}{7} \gt 1 \), sedangkan hasil \( \dfrac{2}{7} \lt 1 \).
Soal 2.
Bentuk sederhana dari \( \dfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{7}} \) adalah ....
A. \( \dfrac{3}{2}\sqrt{14}+\dfrac{3}{2}\sqrt{10} \)
B. \( \dfrac{3}{2}\sqrt{14}-\dfrac{3}{2}\sqrt{10} \)
C. \( \dfrac{3}{2}\sqrt{10}+\sqrt{7} \)
D. \( \dfrac{3}{2}\sqrt{10}-\sqrt{7} \)
E. \( -\dfrac{3}{2}\sqrt{14}-\dfrac{3}{2}\sqrt{10} \)
Jawaban & Analisis
Jawaban: B
Rasionalkan penyebut dengan mengalikan sekawan \( \sqrt{7}-\sqrt{5} \).
\( \dfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{7}} \times \dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \dfrac{3\sqrt{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{(\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{7}-\sqrt{5})} \).
Penyebut:
\( (\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{7}-\sqrt{5})=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2=7-5=2 \).
Pembilang:
\( 3\sqrt{2}\cdot\sqrt{7}=3\sqrt{14} \) dan \( 3\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}=3\sqrt{10} \).
Jadi pembilang \( =3\sqrt{14}-3\sqrt{10} \).
Hasil akhir:
\( \dfrac{3\sqrt{14}-3\sqrt{10}}{2}=\dfrac{3}{2}\sqrt{14}-\dfrac{3}{2}\sqrt{10} \).
Analisis opsi:
A salah karena tanda seharusnya minus (dari \( \sqrt{7}-\sqrt{5} \)).
B benar sesuai hasil rasionalisasi.
C dan D salah karena bentuknya tidak setara dengan hasil sekawan (koefisien dan suku tidak cocok).
E salah karena membuat nilai negatif besar, padahal hasil sebenarnya masih positif.
Soal 3.
Nilai dari \( \left(\dfrac{\,^{5}\log 9 \cdot \,^{81}\log 625 + \,^{5}\log 125}{\,^{6}\log 216 - \,^{6}\log 36}\right)^{3} \) adalah ....
A. \( 625 \)
B. \( 125 \)
C. \( 25 \)
D. \( -25 \)
E. \( -125 \)
Jawaban & Analisis
Jawaban: B
Hitung bagian pembilang dan penyebut.
Langkah 1: Hitung \( \,^{81}\log 625 \).
Karena \( 81=3^4 \) dan \( 625=5^4 \), maka:
\( \,^{81}\log 625=\log_{3^4}(5^4)=\dfrac{4\log 5}{4\log 3}=\log_3 5 \).
Langkah 2: Hitung \( \,^{5}\log 9 \cdot \,^{81}\log 625 \).
\( \,^{5}\log 9=\log_5(3^2)=2\log_5 3 \).
Gunakan sifat \( \log_5 3=\dfrac{1}{\log_3 5} \), sehingga:
\( \,^{5}\log 9 = \dfrac{2}{\log_3 5} \).
Maka:
\( \,^{5}\log 9 \cdot \,^{81}\log 625 = \dfrac{2}{\log_3 5}\cdot \log_3 5 = 2 \).
Langkah 3: Hitung \( \,^{5}\log 125 \).
\( 125=5^3 \Rightarrow \,^{5}\log 125=\log_5(5^3)=3 \).
Jadi pembilang:
\( 2+3=5 \).
Langkah 4: Hitung penyebut.
\( \,^{6}\log 216-\ ^{6}\log 36=\log_6 216-\log_6 36=\log_6\left(\dfrac{216}{36}\right)=\log_6 6=1 \).
Maka isi kurung:
\( \dfrac{5}{1}=5 \).
Naikkan pangkat \( 3 \):
\( 5^3=125 \).
Analisis opsi:
A salah karena \( 625=5^4 \), sedangkan hasil \( 5^3 \).
B benar karena hasil tepat \( 125 \).
C salah karena \( 25=5^2 \).
D dan E salah karena hasil bernilai positif.
Soal 4.
Nilai \( x \) yang memenuhi \( \,^{\frac{1}{3}}\log(x+\sqrt{3}) + \,^{\frac{1}{3}}\log(x-\sqrt{3}) \gt 0 \) adalah ....
A. \( x \lt -\sqrt{3} \) atau \( 0 \lt x \lt 2 \)
B. \( -2 \lt x \lt -\sqrt{3} \) atau \( \sqrt{3} \lt x \lt 2 \)
C. \( \sqrt{3} \lt x \lt 2 \)
D. \( -2 \lt x \lt 2 \)
E. \( -\sqrt{3} \lt x \lt 2 \)
Jawaban & Analisis
Jawaban: C
Langkah 1 (domain): Agar log terdefinisi, harus:
\( x+\sqrt{3} \gt 0 \) dan \( x-\sqrt{3} \gt 0 \Rightarrow x \gt \sqrt{3} \).
Langkah 2 (gabung log):
\( \,^{\frac{1}{3}}\log(x+\sqrt{3}) + \,^{\frac{1}{3}}\log(x-\sqrt{3}) = \,^{\frac{1}{3}}\log\big((x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})\big) \).
\( (x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=x^2-3 \), sehingga:
\( \,^{\frac{1}{3}}\log(x^2-3) \gt 0 \).
Langkah 3 (basis kurang dari 1): Karena \( 0 \lt \dfrac{1}{3} \lt 1 \), fungsi \( \log_{\frac{1}{3}}(t) \) menurun, dan:
\( \,^{\frac{1}{3}}\log(t) \gt 0 \iff 0 \lt t \lt 1 \).
Maka:
\( 0 \lt x^2-3 \lt 1 \).
Dari \( x^2-3 \lt 1 \Rightarrow x^2 \lt 4 \Rightarrow -2 \lt x \lt 2 \).
Gabungkan dengan domain \( x \gt \sqrt{3} \), diperoleh:
\( \sqrt{3} \lt x \lt 2 \).
Analisis opsi:
A, E memuat nilai \( x \) yang membuat \( x-\sqrt{3} \lt 0 \) sehingga log tidak terdefinisi.
B terlalu luas karena mencakup interval negatif yang melanggar domain.
C benar karena memenuhi domain dan pertidaksamaan.
D salah karena mencakup \( x \le \sqrt{3} \) yang tidak memenuhi domain.
Soal 5.
Salah satu akar persamaan \( x^2 + ax + 4 = 0 \) tiga lebih dari akar yang lain. Nilai \( a \) yang memenuhi adalah ....
A. \( -5 \) atau \( 5 \)
B. \( -4 \) atau \( 4 \)
C. \( -3 \) atau \( 3 \)
D. \( -2 \) atau \( 2 \)
E. \( -1 \) atau \( 1 \)
Jawaban & Analisis
Jawaban: A
Misalkan akar-akar persamaan adalah \( r \) dan \( r+3 \).
Dengan rumus Vieta untuk \( x^2 + ax + 4 = 0 \):
Jumlah akar \( = r+(r+3)=2r+3 = -a \).
Hasil kali akar \( = r(r+3)=4 \).
Dari hasil kali akar:
\( r(r+3)=4 \Rightarrow r^2+3r-4=0 \).
Faktorkan:
\( (r+4)(r-1)=0 \Rightarrow r=-4 \) atau \( r=1 \).
Jika \( r=1 \), maka akar lain \( r+3=4 \), jumlah akar \( =1+4=5 \Rightarrow -a=5 \Rightarrow a=-5 \).
Jika \( r=-4 \), maka akar lain \( r+3=-1 \), jumlah akar \( =-4+(-1)=-5 \Rightarrow -a=-5 \Rightarrow a=5 \).
Jadi \( a=-5 \) atau \( a=5 \).
Analisis opsi:
A benar karena menghasilkan \( a=-5 \) atau \( a=5 \).
B, C, D, E salah karena tidak memenuhi syarat selisih akar \( 3 \) sekaligus hasil kali akar \( 4 \).