Jawaban: B

Hitung jarak \( AB \) dan \( BC \) dari informasi waktu dan kecepatan.

Waktu \( A \to B \) adalah \( 4 \) jam, maka \( AB = 50 \times 4 = 200 \) mil.

Waktu \( B \to C \) dari \( 12.00 \) sampai \( 20.00 \) adalah \( 8 \) jam, maka \( BC = 50 \times 8 = 400 \) mil.

Sekarang tentukan sudut di titik \( B \), yaitu sudut \( \angle ABC \) (sudut antara arah \( BA \) dan \( BC \)).

Arah \( A \to B \) adalah \( 030^\circ \), maka arah balik \( B \to A \) adalah \( 030^\circ + 180^\circ = 210^\circ \).

Arah \( B \to C \) diberikan \( 150^\circ \).

Maka sudut antara \( BA \) dan \( BC \) adalah \( |210^\circ - 150^\circ| = 60^\circ \).

Gunakan aturan cosinus pada segitiga \( \triangle ABC \):

\( AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)\cos \angle ABC \).

Substitusi \( AB = 200 \), \( BC = 400 \), dan \( \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2} \):

\( AC^2 = 200^2 + 400^2 - 2(200)(400)\left(\dfrac{1}{2}\right) \).

\( AC^2 = 40000 + 160000 - 80000 = 120000 \).

\( AC = \sqrt{120000} = 200\sqrt{3} \) mil.

Evaluasi opsi:

A salah karena \( 200\sqrt{2} \) muncul jika sudutnya \( 90^\circ \), padahal sudutnya \( 60^\circ \).

B benar karena perhitungan menghasilkan \( AC = 200\sqrt{3} \).

C salah karena \( 200\sqrt{6} \) lebih besar dari hasil aturan cosinus untuk sudut \( 60^\circ \).

D salah karena \( 200\sqrt{7} \) menuntut sudut yang lebih tumpul (misalnya sekitar \( 120^\circ \)).

E salah karena \( 600 \) adalah jarak maksimum jika lintasan segaris searah, sedangkan segitiga membentuk sudut \( 60^\circ \).

Jawaban: D

Gunakan koordinat agar jarak titik ke garis di ruang dapat dihitung dengan rumus vektor.

Ambil koordinat kubus:

\( A(0,0,0) \), \( B(8,0,0) \), \( D(0,8,0) \), \( E(0,0,8) \).

Vektor arah garis \( BD \):

\( \overrightarrow{BD} = D - B = (0-8,\;8-0,\;0-0) = (-8,8,0) \).

Vektor \( \overrightarrow{BE} \):

\( \overrightarrow{BE} = E - B = (0-8,\;0-0,\;8-0) = (-8,0,8) \).

Jarak titik \( E \) ke garis \( BD \) adalah:

\( d = \dfrac{\left\lVert \overrightarrow{BE} \times \overrightarrow{BD} \right\rVert}{\left\lVert \overrightarrow{BD} \right\rVert} \).

Hitung hasil kali silang:

\( \overrightarrow{BE} \times \overrightarrow{BD} = (-8,0,8) \times (-8,8,0) = (-64,-64,-64) \).

Maka:

\( \left\lVert \overrightarrow{BE} \times \overrightarrow{BD} \right\rVert = \sqrt{(-64)^2+(-64)^2+(-64)^2} = 64\sqrt{3} \).

Panjang \( \overrightarrow{BD} \):

\( \left\lVert \overrightarrow{BD} \right\rVert = \sqrt{(-8)^2+8^2+0^2} = 8\sqrt{2} \).

Sehingga:

\( d = \dfrac{64\sqrt{3}}{8\sqrt{2}} = 8\sqrt{\dfrac{3}{2}} = 8\cdot\dfrac{\sqrt{6}}{2} = 4\sqrt{6} \) cm.

Evaluasi opsi:

A, B, C terlalu besar (melebihi panjang rusuk \( 8 \) cm) sehingga tidak sesuai jarak tegak lurus di dalam kubus.

D tepat yaitu \( 4\sqrt{6} \) cm.

E salah karena \( 4\sqrt{3} \) akan muncul jika komponen ruangnya berbeda (bukan ke diagonal bidang \( BD \)).

Jawaban: D

Pada limas segiempat beraturan, kaki tinggi limas tepat di pusat persegi alas. Misalkan pusat alas \( O \).

Ambil salah satu titik sudut alas, misalnya \( A \). Rusuk tegak adalah \( TA \) dan proyeksi \( TA \) pada bidang alas adalah \( AO \).

Panjang \( AO \) adalah jarak pusat persegi ke sudut persegi, yaitu setengah diagonal persegi.

Diagonal alas \( = 8\sqrt{2} \), maka \( AO = \dfrac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \).

Diketahui \( TA = 4\sqrt{3} \). Segitiga \( \triangle TAO \) siku-siku di \( O \) (karena \( TO \perp \) bidang alas).

Tinggi limas \( TO \):

\( TO = \sqrt{TA^2 - AO^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 - (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{48-32} = \sqrt{16} = 4 \).

Sudut \( \alpha \) adalah sudut antara garis \( TA \) dan bidang alas, sehingga:

\( \sin \alpha = \dfrac{\text{komponen tegak lurus bidang}}{\text{panjang garis}} = \dfrac{TO}{TA} = \dfrac{4}{4\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \).

Evaluasi opsi:

A dan C tidak sesuai karena melibatkan \( \sqrt{2} \), padahal hasil akhir berbasis \( \sqrt{3} \).

B terlalu besar karena \( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \gt \dfrac{\sqrt{3}}{3} \).

D benar karena \( \dfrac{1}{3}\sqrt{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \).

E hanya benar jika \( \alpha = 90^\circ \), padahal rusuk tegak tidak tegak lurus bidang alas.

Jawaban: E

Rotasi \( 90^\circ \) berpusat di \( O(0,0) \) (berlawanan arah jarum jam) memetakan titik:

\( (x,y) \to (-y,x) \).

Pencerminan terhadap sumbu \( X \) memetakan:

\( (u,v) \to (u,-v) \).

Gabungan transformasi (rotasi lalu cermin \( X \)) menjadi:

\( (x,y) \to (-y,-x) \).

Untuk memperoleh persamaan bayangan garis, gunakan substitusi balik (inverse). Misalkan koordinat bayangan adalah \( (X,Y) \).

Dari \( X = -y \) dan \( Y = -x \), maka \( x = -Y \) dan \( y = -X \).

Substitusikan ke garis asal \( 2x - y + 3 = 0 \):

\( 2(-Y) - (-X) + 3 = 0 \).

\( -2Y + X + 3 = 0 \).

Ganti \( X \to x \) dan \( Y \to y \), diperoleh:

\( x - 2y + 3 = 0 \).

Evaluasi opsi:

A, C, D memiliki koefisien yang tidak sesuai hasil transformasi \( x - 2y + 3 = 0 \).

B adalah garis asal (tidak berubah), padahal ada transformasi.

E tepat sama dengan hasil.

Jawaban: B

Ubah persamaan lingkaran ke bentuk pusat-jari-jari.

\( x^2 + y^2 + 2x - 4y - 4 = 0 \).

Lengkapi kuadrat:

\( (x^2 + 2x) + (y^2 - 4y) = 4 \).

\( (x+1)^2 - 1 + (y-2)^2 - 4 = 4 \).

\( (x+1)^2 + (y-2)^2 = 9 \).

Pusat lingkaran \( (-1,2) \) dan jari-jari \( r = 3 \).

Garis yang sejajar \( 5x + 12y + 24 = 0 \) memiliki bentuk umum:

\( 5x + 12y + c = 0 \).

Agar menyinggung lingkaran, jarak pusat ke garis harus sama dengan \( r \):

\( \dfrac{|5(-1) + 12(2) + c|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = 3 \).

\( \dfrac{|-5 + 24 + c|}{13} = 3 \Rightarrow |19 + c| = 39 \).

Maka ada dua kemungkinan:

\( 19 + c = 39 \Rightarrow c = 20 \) atau \( 19 + c = -39 \Rightarrow c = -58 \).

Jadi garis singgungnya bisa:

\( 5x + 12y + 20 = 0 \) atau \( 5x + 12y - 58 = 0 \).

Dari pilihan yang tersedia, yang ada adalah:

\( 5x + 12y + 20 = 0 \) (opsi B).

Evaluasi opsi:

A salah karena \( c = -20 \) tidak memenuhi \( |19+c| = 39 \).

B benar karena \( c = 20 \) memenuhi syarat singgung.

C salah karena \( c = 58 \) membuat jarak pusat ke garis terlalu besar.

D dan E salah karena tidak sejajar dengan \( 5x + 12y + 24 = 0 \) (normal vektornya berbeda).