Ide: Bentuk \( \sqrt{\cdots}-(\cdots) \) untuk \( x\to\infty \) diselesaikan dengan mengalikan sekawan.

Misalkan

\( L=\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2+4x-3}-(2x-5)\right) \).

Kalikan pembilang dengan sekawan:

\( L=\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2+4x-3}-(2x-5)\right)\cdot \dfrac{\sqrt{4x^2+4x-3}+(2x-5)}{\sqrt{4x^2+4x-3}+(2x-5)} \).

Bagian atas menjadi selisih kuadrat:

\( \left(4x^2+4x-3\right)-(2x-5)^2 \).

Hitung \( (2x-5)^2=4x^2-20x+25 \), sehingga:

\( \left(4x^2+4x-3\right)-\left(4x^2-20x+25\right)=24x-28 \).

Jadi

\( L=\lim_{x\to\infty}\dfrac{24x-28}{\sqrt{4x^2+4x-3}+(2x-5)} \).

Faktorkan \( x \) pada akar (untuk \( x\to\infty \) berarti \( x \gt 0 \)):

\( \sqrt{4x^2+4x-3}=x\sqrt{4+\dfrac{4}{x}-\dfrac{3}{x^2}} \).

Maka penyebut:

\( \sqrt{4x^2+4x-3}+(2x-5)=x\sqrt{4+\dfrac{4}{x}-\dfrac{3}{x^2}}+2x-5 \).

Bagi pembilang dan penyebut dengan \( x \):

\( L=\lim_{x\to\infty}\dfrac{24-\dfrac{28}{x}}{\sqrt{4+\dfrac{4}{x}-\dfrac{3}{x^2}}+2-\dfrac{5}{x}} \).

Saat \( x\to\infty \), berlaku \( \dfrac{28}{x}\to 0 \) dan \( \dfrac{5}{x}\to 0 \), sehingga:

\( L=\dfrac{24}{\sqrt{4}+2}=\dfrac{24}{2+2}=\dfrac{24}{4}=6 \).

Jawaban: E yaitu \( 6 \).

Langkah 1: Gunakan identitas \( \cos A-\cos B=-2\sin\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\sin\left(\dfrac{A-B}{2}\right) \).

Ambil \( A=3x \) dan \( B=5x \), maka:

\( \cos 3x-\cos 5x=-2\sin\left(\dfrac{3x+5x}{2}\right)\sin\left(\dfrac{3x-5x}{2}\right) \).

\( \cos 3x-\cos 5x=-2\sin(4x)\sin(-x)=2\sin(4x)\sin x \).

Sehingga limit menjadi:

\( \lim_{x\to 0}\dfrac{2\sin(4x)\sin x}{3x\sin 2x} \).

Langkah 2: Ubah menjadi bentuk limit dasar \( \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1 \).

Susun:

\( \dfrac{2\sin(4x)\sin x}{3x\sin 2x}=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{\sin(4x)}{4x}\cdot \dfrac{\sin x}{x}\cdot \dfrac{4x^2}{x\sin 2x} \).

Bagian terakhir disederhanakan:

\( \dfrac{4x^2}{x\sin 2x}=\dfrac{4x}{\sin 2x}=2\cdot \dfrac{2x}{\sin 2x} \).

Maka:

\( \dfrac{2\sin(4x)\sin x}{3x\sin 2x}=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{\sin(4x)}{4x}\cdot \dfrac{\sin x}{x}\cdot 2\cdot \dfrac{2x}{\sin 2x} \).

Ambil limit \( x\to 0 \):

\( \dfrac{\sin(4x)}{4x}\to 1 \), \( \dfrac{\sin x}{x}\to 1 \), dan \( \dfrac{2x}{\sin 2x}\to 1 \).

Jadi:

\( \lim_{x\to 0}\dfrac{2\sin(4x)\sin x}{3x\sin 2x}=\dfrac{2}{3}\cdot 1\cdot 1\cdot 2\cdot 1=\dfrac{4}{3} \).

Jawaban: B yaitu \( \dfrac{4}{3} \).

Langkah 1: Misalkan \( u=3x-5 \), sehingga \( f(x)=\cos^2(u) \) dan \( u'=3 \).

Langkah 2: Turunan \( \cos^2(u) \):

\( \dfrac{d}{dx}\left(\cos^2(u)\right)=2\cos(u)\cdot \dfrac{d}{dx}(\cos u) \).

Karena \( \dfrac{d}{dx}(\cos u)=-\sin(u)\cdot u' \), maka:

\( f'(x)=2\cos(u)\cdot\left(-\sin(u)\cdot u'\right)= -2u'\cos(u)\sin(u) \).

Substitusi \( u'=3 \):

\( f'(x)=-6\cos(u)\sin(u) \).

Langkah 3: Gunakan identitas \( \sin(2u)=2\sin(u)\cos(u) \), sehingga:

\( -6\cos(u)\sin(u)=-3\cdot 2\sin(u)\cos(u)=-3\sin(2u) \).

Karena \( 2u=2(3x-5)=6x-10 \), maka:

\( f'(x)=-3\sin(6x-10) \).

Jawaban: C yaitu \( f'(x)=-3\sin(6x-10) \).

Langkah 1: Cari titik pada kurva yang memiliki ordinat \( 4 \).

Diketahui \( y=x^2+x-2 \). Jika ordinat \( 4 \), maka:

\( x^2+x-2=4 \Rightarrow x^2+x-6=0 \).

Faktorkan:

\( x^2+x-6=(x-2)(x+3)=0 \Rightarrow x=2 \) atau \( x=-3 \).

Jadi ada dua titik: \( (2,4) \) dan \( (-3,4) \).

Langkah 2: Cari gradien garis singgung dengan turunan.

\( y=x^2+x-2 \Rightarrow y'=2x+1 \).

Pada \( x=2 \): \( m_1=2(2)+1=5 \).

Pada \( x=-3 \): \( m_2=2(-3)+1=-5 \).

Langkah 3: Bentuk persamaan garis singgung \( y-y_1=m(x-x_1) \).

Di titik \( (2,4) \) dengan \( m_1=5 \):

\( y-4=5(x-2)\Rightarrow y=5x-6 \).

Di titik \( (-3,4) \) dengan \( m_2=-5 \):

\( y-4=-5(x+3)\Rightarrow y=-5x-11 \).

Jawaban: D yaitu \( y=-5x-11 \) dan \( y=5x-6 \).

Informasi penting dari gambar: Pagar hanya dibuat pada sisi yang tidak bertembok (jadi hanya \( 3 \) sisi). Kawat berduri pada pagar terdiri dari \( 4 \) utas sejajar (sesuai bentuk pagar pada gambar).

Misalkan: panjang sisi sejajar tembok \( =x \) meter dan lebar tegak lurus tembok \( =y \) meter, dengan \( x \gt 0 \) dan \( y \gt 0 \).

Panjang pagar yang dibutuhkan (satu utas): sisi bawah \( x \) dan dua sisi samping \( 2y \), sehingga total \( x+2y \).

Karena ada \( 4 \) utas kawat:

\( 4(x+2y)=800 \Rightarrow x+2y=200 \).

Luas tanah: \( L=xy \).

Dari \( x+2y=200 \Rightarrow x=200-2y \), maka:

\( L(y)=y(200-2y)=200y-2y^2 \).

Maksimumkan fungsi kuadrat:

\( L(y)=-2y^2+200y \) membuka ke bawah (karena koefisien \( -2 \lt 0 \)), sehingga maksimum di puncak.

Koordinat puncak untuk \( ay^2+by+c \) adalah \( y=-\dfrac{b}{2a} \). Di sini \( a=-2 \) dan \( b=200 \), maka:

\( y=-\dfrac{200}{2(-2)}=\dfrac{200}{4}=50 \).

Lalu \( x=200-2(50)=100 \).

Luas maksimum:

\( L_{\max}=xy=100\cdot 50=5000 \), sehingga \( L_{\max}=5{.}000\ \text{m}^2 \).

Jawaban: D yaitu \( 5{.}000\ \text{m}^2 \).