Strategi: karena ada bentuk \( (2x-5)^3 \), gunakan substitusi \( u=2x-5 \).

Langkah 1: Ambil \( u=2x-5 \Rightarrow du=2\,dx \Rightarrow dx=\dfrac{1}{2}du \).

Dari \( u=2x-5 \Rightarrow x=\dfrac{u+5}{2} \).

Langkah 2: Ubah integral ke \( u \).

\( \int 6x(2x-5)^3\,dx=\int 6\left(\dfrac{u+5}{2}\right)u^3\left(\dfrac{1}{2}\,du\right) \)

\( =\int \dfrac{6}{4}(u+5)u^3\,du=\int \dfrac{3}{2}(u^4+5u^3)\,du \)

Langkah 3: Integralkan per suku.

\( \int \dfrac{3}{2}(u^4+5u^3)\,du=\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{u^5}{5}+5\cdot\dfrac{u^4}{4}\right)+C \)

\( =\dfrac{3}{10}u^5+\dfrac{15}{8}u^4+C \)

Langkah 4: Faktorkan agar mirip pilihan jawaban.

\( \dfrac{3}{10}u^5+\dfrac{15}{8}u^4=u^4\left(\dfrac{3}{10}u+\dfrac{15}{8}\right) \)

Samakan penyebut \( 40 \): \( \dfrac{3}{10}u=\dfrac{12u}{40} \) dan \( \dfrac{15}{8}=\dfrac{75}{40} \), sehingga

\( u^4\left(\dfrac{12u+75}{40}\right)=u^4\left(\dfrac{3(4u+25)}{40}\right)=\dfrac{3}{40}(4u+25)u^4 \)

Langkah 5: Kembalikan \( u=2x-5 \).

\( 4u+25=4(2x-5)+25=8x-20+25=8x+5 \)

Jadi hasilnya \( \dfrac{3}{40}(8x+5)(2x-5)^4+C \).

Jawaban: B yaitu \( \dfrac{3}{40}(8x+5)(2x-5)^4+C \).

Langkah 1: Cari antiturunan \( F(x) \) dari \( 4x^2-2x+1 \).

\( \int (4x^2-2x+1)\,dx=\dfrac{4}{3}x^3-x^2+x+C \)

Langkah 2: Hitung \( F(-1) \) dan \( F(-3) \).

\( F(-1)=\dfrac{4}{3}(-1)^3-(-1)^2+(-1)= -\dfrac{4}{3}-1-1=-\dfrac{10}{3} \)

\( F(-3)=\dfrac{4}{3}(-3)^3-(-3)^2+(-3)=\dfrac{4}{3}(-27)-9-3=-36-12=-48 \)

Langkah 3: Terapkan teorema dasar kalkulus.

\( \int_{-3}^{-1}(4x^2-2x+1)\,dx=F(-1)-F(-3)=-\dfrac{10}{3}-(-48) \)

\( =-\dfrac{10}{3}+48=-\dfrac{10}{3}+\dfrac{144}{3}=\dfrac{134}{3}=44\dfrac{2}{3} \)

Jawaban: D yaitu \( 44\dfrac{2}{3} \).

Strategi: karena ada \( \sin^6 2x \) dan turunan \( \sin 2x \) mengandung \( \cos 2x \), pakai substitusi.

Langkah 1: Ambil \( u=\sin 2x \Rightarrow du=2\cos 2x\,dx \Rightarrow \cos 2x\,dx=\dfrac{1}{2}du \).

Langkah 2: Ubah integral.

\( \int \sin^6 2x \cos 2x\,dx=\int u^6\left(\dfrac{1}{2}du\right)=\dfrac{1}{2}\int u^6\,du \)

Langkah 3: Integralkan.

\( \dfrac{1}{2}\int u^6\,du=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{u^7}{7}+C=\dfrac{u^7}{14}+C \)

Langkah 4: Kembalikan \( u=\sin 2x \).

\( \dfrac{u^7}{14}+C=\dfrac{1}{14}\sin^7 2x + C \)

Jawaban: D yaitu \( \dfrac{1}{14}\sin^7 2x + C \).

Strategi: bentuk akar \( \sqrt{x^2-3x-5} \) cocok dengan substitusi \( u=x^2-3x-5 \).

Langkah 1: Ambil \( u=x^2-3x-5 \Rightarrow du=(2x-3)\,dx \).

Langkah 2: Samakan pembilang dengan \( (2x-3) \).

\( 6x-9=3(2x-3) \), maka

\( \int \dfrac{6x-9}{\sqrt{x^2-3x-5}}\,dx=\int \dfrac{3(2x-3)}{\sqrt{u}}\,dx=3\int \dfrac{du}{\sqrt{u}} \)

Langkah 3: Integralkan \( u^{-1/2} \).

\( 3\int u^{-1/2}\,du=3\cdot \dfrac{u^{1/2}}{1/2}+C=3\cdot 2\sqrt{u}+C=6\sqrt{u}+C \)

Langkah 4: Kembalikan \( u=x^2-3x-5 \).

Hasilnya \( 6\sqrt{x^2-3x-5}+C \).

Jawaban: C yaitu \( 6\sqrt{x^2-3x-5}+C \).

Langkah 1 (tentukan fungsi atas dan bawah): Pada selang \( 0 \le x \le 3 \), cek selisih kedua fungsi:

\( (-x^2+2x+3)-(x^2-4x)=-2x^2+6x+3 \)

Di \( x=0 \) selisih \( =3 \) (positif) dan di \( x=3 \) selisih \( =3 \) (positif), jadi \( y=-x^2+2x+3 \) berada di atas \( y=x^2-4x \) pada daerah yang diminta.

Langkah 2 (rumus luas daerah antar kurva):

\( L=\int_{0}^{3}\Big((\text{atas})-(\text{bawah})\Big)\,dx=\int_{0}^{3}(-2x^2+6x+3)\,dx \)

Langkah 3 (hitung integral):

\( \int(-2x^2+6x+3)\,dx=-2\cdot\dfrac{x^3}{3}+6\cdot\dfrac{x^2}{2}+3x=-\dfrac{2}{3}x^3+3x^2+3x \)

Langkah 4 (substitusi batas):

\( L=\left[-\dfrac{2}{3}x^3+3x^2+3x\right]_{0}^{3}=\left(-\dfrac{2}{3}\cdot 27+3\cdot 9+3\cdot 3\right)-0 \)

\( =(-18)+27+9=18 \)

Jawaban: D yaitu \( 18 \) satuan luas.