Soal 6
Untuk \(0 \le x \le 360\), himpunan penyelesaian dari \(\sin x-\sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}=0\) adalah …
A. \(\{120,180\}\)
B. \(\{90,210\}\)
C. \(\{30,270\}\)
D. \(\{0,300\}\)
E. \(\{0,300,360\}\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: A
Pindahkan \(\sqrt{3}\) ke ruas kanan:
\(\sin x-\sqrt{3}\cos x=\sqrt{3}\).
Ubah ruas kiri menjadi satu bentuk sinus. Perhatikan identitas:
\(\sin(x-60^\circ)=\sin x\cos 60^\circ-\cos x\sin 60^\circ=\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\).
Kalikan \(2\) pada kedua ruas:
\(2\sin(x-60^\circ)=\sin x-\sqrt{3}\cos x\).
Maka persamaan menjadi:
\(2\sin(x-60^\circ)=\sqrt{3}\Rightarrow \sin(x-60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Nilai \(\sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\) terjadi pada \(\theta=60^\circ\) atau \(\theta=120^\circ\) dalam satu putaran.
Jadi:
\(x-60^\circ=60^\circ \Rightarrow x=120^\circ\) dan \(x-60^\circ=120^\circ \Rightarrow x=180^\circ\).
Keduanya memenuhi \(0 \le x \le 360\), maka himpunan penyelesaiannya \(\{120,180\}\).
Soal 7
Penyelesaian persamaan \(\sqrt{8x^2-4x+3}=\dfrac{1}{32^{x-1}}\) adalah \(p\) dan \(q\), dengan \(p \gt q\). Nilai \(p+6q=\) …
A. \(-17\)
B. \(-1\)
C. \(4\)
D. \(6\)
E. \(19\)
Jawaban & Analisis
Catatan penting:
Dari bentuk persamaan \(\sqrt{8x^2-4x+3}=\dfrac{1}{32^{x-1}}\), ruas kiri selalu bernilai positif dan berbentuk akar dari kuadrat, sedangkan ruas kanan adalah fungsi eksponensial positif yang menurun terhadap \(x\).
Dengan sifat tersebut, persamaan ini secara umum menghasilkan satu penyelesaian real (bukan dua), sehingga pernyataan “penyelesaian adalah \(p\) dan \(q\) dengan \(p \gt q\)” tidak konsisten dengan bentuk fungsi pada soal.
Agar saya bisa memberi jawaban pilihan A–E yang tepat, mohon pastikan kembali apakah ruas kanan memang \(\dfrac{1}{32^{x-1}}\) (basis \(32\)) atau ada simbol lain (misalnya \(\dfrac{1}{3\cdot 2^{x-1}}\) atau bentuk eksponen yang berbeda) yang pada gambar bisa tampak mirip.
Soal 8
Jika \(x_1\) dan \(x_2\) adalah akar-akar persamaan \(\left(^{3}\log x\right)^2-3\left(^{3}\log x\right)+2=0\), maka \(x_1x_2=\) …
A. \(2\)
B. \(3\)
C. \(8\)
D. \(24\)
E. \(27\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: E
Misalkan \(t=\,^{3}\log x\). Maka persamaan berubah menjadi persamaan kuadrat:
\(t^2-3t+2=0\).
Faktorkan:
\((t-1)(t-2)=0\Rightarrow t=1\) atau \(t=2\).
Kembalikan ke \(x\):
Jika \(^{3}\log x=1\Rightarrow x=3^1=3\). Jika \(^{3}\log x=2\Rightarrow x=3^2=9\).
Maka \(x_1x_2=3\cdot 9=27\).
Soal 9
Nilai \(x^2+2xy+y^2\) yang memenuhi persamaan \(\begin{pmatrix}2 & 6\\1 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}\) adalah …
A. \(1\)
B. \(3\)
C. \(5\)
D. \(7\)
E. \(9\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: A
Ubah persamaan matriks menjadi sistem:
\(2x+6y=2\) dan \(x-3y=-5\).
Dari \(x-3y=-5\) diperoleh \(x=-5+3y\). Substitusi ke \(2x+6y=2\):
\(2(-5+3y)+6y=2\Rightarrow -10+6y+6y=2\Rightarrow 12y=12\Rightarrow y=1\).
Maka \(x=-5+3(1)=-2\).
Hitung nilai yang diminta:
\(x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\).
\(x+y=-2+1=-1\Rightarrow (x+y)^2=1\).
Soal 10
Jumlah deret geometri tak hingga \(\sqrt{2}+1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}+\cdots\) adalah …
A. \(\frac{2}{3}(\sqrt{2}+1)\)
B. \(\frac{3}{2}(\sqrt{2}+1)\)
C. \(2(\sqrt{2}+1)\)
D. \(3(\sqrt{2}+1)\)
E. \(4(\sqrt{2}+1)\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: C
Deret ini geometri dengan suku pertama \(a=\sqrt{2}\) dan rasio:
\(r=\frac{1}{\sqrt{2}}\), karena \(\frac{1}{\sqrt{2}}\div 1=\frac{1}{\sqrt{2}}\) dan \(1\div \sqrt{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\).
Karena \(|r|\lt 1\), jumlah tak hingganya ada dan:
\(S=\frac{a}{1-r}=\frac{\sqrt{2}}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}\).
Sederhanakan dengan mengalikan pembilang dan penyebut oleh \(\sqrt{2}\):
\(S=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=\frac{2}{\sqrt{2}-1}\).
Rasionalisasi penyebut:
\(S=\frac{2(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{2(\sqrt{2}+1)}{2-1}=2(\sqrt{2}+1)\).