Soal 21
Interval \(x\) sehingga grafik fungsi \(f(x)=2x^3-9x^2+12x\) turun adalah ....
A. \(x \lt -2\) atau \(x \gt -1\)
B. \(-2 \lt x \lt -1\)
C. \(x \lt 1\) atau \(x \gt 2\)
D. \(1 \lt x \lt 2\)
E. \(-1 \lt x \lt 2\)
Jawaban & Analisis
Grafik fungsi turun ketika turunan pertama bernilai negatif, yaitu saat \(f'(x) \lt 0\).
Turunkan \(f(x)=2x^3-9x^2+12x\): \[ f'(x)=6x^2-18x+12. \] Faktorkan: \[ f'(x)=6(x^2-3x+2)=6(x-1)(x-2). \]
Karena \(6 \gt 0\), tanda \(f'(x)\) ditentukan oleh \((x-1)(x-2)\). Produk \((x-1)(x-2) \lt 0\) terjadi di antara akar-akarnya, yaitu: \[ 1 \lt x \lt 2. \]
Jawaban: \(1 \lt x \lt 2\).
Soal 22
Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas. Jika tinggi \(h\) meter setelah \(t\) detik dirumuskan dengan \(h(t)=-t^3+\dfrac{5}{2}t^2+2t+10\), maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah ....
A. \(26\)
B. \(18\)
C. \(16\)
D. \(14\)
E. \(12\)
Jawaban & Analisis
Tinggi maksimum terjadi saat \(h'(t)=0\) dan \(t \ge 0\).
Turunan: \[ h'(t)=-3t^2+5t+2. \] Set \(h'(t)=0\): \[ -3t^2+5t+2=0 \Rightarrow 3t^2-5t-2=0. \]
Akar: \[ t=\dfrac{5\pm\sqrt{25+24}}{6}=\dfrac{5\pm 7}{6}. \] Diperoleh \(t=2\) atau \(t=\dfrac{-1}{3}\). Karena \(t \ge 0\), ambil \(t=2\).
Tinggi maksimum: \[ h(2)=-(2)^3+\dfrac{5}{2}(2)^2+2(2)+10 =-8+10+4+10 =16. \]
Jawaban: \(16\).
Soal 23
Nilai maksimum sasaran \(Z=6x+8y\) dari sistem pertidaksamaan \(4x+2y \le 60\), \(2x+4y \le 48\), \(x \ge 0\), dan \(y \ge 0\) adalah ....
A. \(120\)
B. \(118\)
C. \(116\)
D. \(114\)
E. \(112\)
Jawaban & Analisis
Nilai maksimum program linear terjadi di titik pojok daerah feasible. Ubah batas menjadi: \[ 4x+2y \le 60 \Rightarrow 2x+y \le 30, \] \[ 2x+4y \le 48 \Rightarrow x+2y \le 24. \]
Titik pojok:
\((0,0)\).
Jika \(y=0\): \(2x \le 30 \Rightarrow x \le 15\) sehingga \((15,0)\).
Jika \(x=0\): \(2y \le 24 \Rightarrow y \le 12\) sehingga \((0,12)\).
Perpotongan \(2x+y=30\) dan \(x+2y=24\): \[ y=30-2x, \] \[ x+2(30-2x)=24 \Rightarrow -3x=-36 \Rightarrow x=12, \] \[ y=30-24=6. \] Jadi \((12,6)\).
Hitung \(Z=6x+8y\): \[ Z(0,0)=0, \] \[ Z(15,0)=90, \] \[ Z(0,12)=96, \] \[ Z(12,6)=120. \]
Nilai maksimum adalah \(120\).
Soal 24
Diketahui segitiga \(ABC\) dengan \(A(1,4,6)\), \(B(1,0,2)\), \(C(2,-1,5)\). Titik \(P\) terletak pada perpanjangan \(AB\) sehingga \(AP:BP=3:1\). Panjang vektor yang diwakili oleh \(PC\) adalah ....
A. \(3\)
B. \(\sqrt{13}\)
C. \(3\sqrt{3}\)
D. \(\sqrt{35}\)
E. \(\sqrt{43}\)
Jawaban & Analisis
Dengan \(AP:PB=3:1\), titik bagi: \[ P=\dfrac{1\cdot A+3\cdot B}{4}. \] Hitung: \[ P=\dfrac{(1,4,6)+3(1,0,2)}{4} =\dfrac{(4,4,12)}{4} =(1,1,3). \]
Vektor \( \overrightarrow{PC}=C-P \): \[ \overrightarrow{PC}=(2,-1,5)-(1,1,3)=(1,-2,2). \]
Panjangnya: \[ \lvert \overrightarrow{PC} \rvert=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2} =\sqrt{9}=3. \]
Jawaban: \(3\).
Soal 25
Diketahui \(u=\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\) dan \(v=\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}\). Proyeksi skalar \(2u+3v\) pada \(v\) adalah ....
A. \( \dfrac{1}{2} \)
B. \( \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \)
C. \( \dfrac{1}{14}\sqrt{14} \)
D. \( 2\sqrt{14} \)
E. \( \dfrac{7}{2}\sqrt{14} \)
Jawaban & Analisis
Misalkan \(w=2u+3v\). Proyeksi skalar \(w\) pada \(v\): \[ \operatorname{comp}_{v}(w)=\dfrac{w\cdot v}{\lvert v\rvert}. \]
Hitung \(w\): \[ 2u=\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix},\quad 3v=\begin{pmatrix}6\\9\\-3\end{pmatrix}, \] \[ w=\begin{pmatrix}8\\5\\3\end{pmatrix}. \]
Hasil kali titik: \[ w\cdot v=(8,5,3)\cdot(2,3,-1)=16+15-3=28. \] Panjang \(v\): \[ \lvert v\rvert=\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2}=\sqrt{14}. \]
Maka \[ \operatorname{comp}_{v}(w)=\dfrac{28}{\sqrt{14}}=\dfrac{28\sqrt{14}}{14}=2\sqrt{14}. \]
Jawaban: \(2\sqrt{14}\).