Soal 31
Turunan pertama dari \( f(x)=\sin^2(2x-3) \), yaitu \( f'(x) \), adalah ....
A. \( 2\cos(4x-6) \)
B. \( 2\sin(4x-6) \)
C. \( -2\cos(4x-6) \)
D. \( -2\sin(4x-6) \)
E. \( 4\sin(2x-3) \)
Jawaban dan Analisis
Tulis \( f(x)=\big(\sin(2x-3)\big)^2 \). Gunakan aturan rantai untuk \( (g(x))^2 \), yaitu \( \frac{d}{dx}(g^2)=2g\cdot g' \).
Ambil \( g(x)=\sin(2x-3) \), maka \( g'(x)=\cos(2x-3)\cdot 2=2\cos(2x-3) \).
Jadi \( f'(x)=2\sin(2x-3)\cdot 2\cos(2x-3)=4\sin(2x-3)\cos(2x-3) \).
Gunakan identitas \( 2\sin a\cos a=\sin(2a) \), sehingga \( 4\sin a\cos a=2\sin(2a) \). Dengan \( a=2x-3 \), diperoleh \( f'(x)=2\sin(4x-6) \). Jawaban: B.
Soal 32
Nilai dari \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin 5x\sin x\,dx \) adalah ....
A. \( -\frac{1}{2} \)
B. \( -\frac{1}{6} \)
C. \( \frac{1}{12} \)
D. \( \frac{1}{8} \)
E. \( \frac{5}{12} \)
Jawaban dan Analisis
Gunakan rumus hasil kali ke jumlah: \( \sin A\sin B=\frac{1}{2}\big(\cos(A-B)-\cos(A+B)\big) \). Ambil \( A=5x \) dan \( B=x \).
Maka \( \sin 5x\sin x=\frac{1}{2}\big(\cos 4x-\cos 6x\big) \). Jadi \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin 5x\sin x\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\big(\cos 4x-\cos 6x\big)\,dx \).
Hitung integral: \( \int \cos 4x\,dx=\frac{1}{4}\sin 4x \) dan \( \int \cos 6x\,dx=\frac{1}{6}\sin 6x \). Maka hasilnya \( \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\sin 4x-\frac{1}{6}\sin 6x\right)\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} \).
Nilai trigonometri: \( \sin\left(4\cdot\frac{\pi}{2}\right)=\sin(2\pi)=0 \), \( \sin\left(6\cdot\frac{\pi}{2}\right)=\sin(3\pi)=0 \), dan di \( x=0 \) juga \( 0 \).
Jadi integral bernilai \( 0 \). Nilai \( 0 \) tidak tersedia pada pilihan, sehingga kemungkinan terdapat kekeliruan pada opsi jawaban.
Soal 33
Nilai \( \int x\sin(x^2+1)\,dx \) adalah ....
A. \( -\cos(x^2+1)+C \)
B. \( \cos(x^2+1)+C \)
C. \( -\frac{1}{2}\cos(x^2+1)+C \)
D. \( \frac{1}{2}\cos(x^2+1)+C \)
E. \( -2\cos(x^2+1)+C \)
Jawaban dan Analisis
Gunakan substitusi \( u=x^2+1 \). Maka \( du=2x\,dx \) sehingga \( x\,dx=\frac{1}{2}du \). Karena \( \frac{1}{2} \gt 0 \), substitusi ini valid.
Integral menjadi \( \int x\sin(x^2+1)\,dx=\frac{1}{2}\int \sin u\,du \).
\( \int \sin u\,du=-\cos u + C \), jadi hasilnya \( -\frac{1}{2}\cos(x^2+1)+C \). Jawaban: C.
Soal 34
Nilai \( \int_{0}^{\pi} x\cos x\,dx \) adalah ....
A. \( -2 \)
B. \( -1 \)
C. \( 0 \)
D. \( 1 \)
E. \( 2 \)
Jawaban dan Analisis
Gunakan integral parsial: ambil \( u=x \) dan \( dv=\cos x\,dx \). Maka \( du=dx \) dan \( v=\sin x \).
\( \int x\cos x\,dx=x\sin x-\int \sin x\,dx=x\sin x+\cos x \).
Evaluasi: \( (x\sin x+\cos x)\Big|_{0}^{\pi} =\big(\pi\sin\pi+\cos\pi\big)-\big(0\cdot\sin0+\cos0\big) \).
\( \sin\pi=0 \), \( \cos\pi=-1 \), \( \cos0=1 \), sehingga hasilnya \( (-1)-1=-2 \) dan \( -2 \lt 0 \). Jawaban: A.
Soal 35
Persamaan peta garis \( 3x-4y=12 \) direfleksikan terhadap garis \( y-x=0 \), kemudian dilanjutkan transformasi yang bersesuaian dengan matriks \( \begin{pmatrix}-3 & 5\\-1 & 1\end{pmatrix} \). Persamaan bayangannya adalah ....
A. \( y+11x+24=0 \)
B. \( y-11x-10=0 \)
C. \( y-11x+6=0 \)
D. \( 11y-x+24=0 \)
E. \( 11y-x-24=0 \)
Jawaban dan Analisis
Refleksi terhadap \( y-x=0 \) sama dengan refleksi terhadap \( y=x \), sehingga titik \( (x,y) \) berubah menjadi \( (y,x) \). Jika koordinat setelah refleksi disebut \( (u,v) \), maka \( u=y \) dan \( v=x \).
Persamaan garis semula \( 3x-4y=12 \) menjadi (ganti \( x=v \), \( y=u \)): \( 3v-4u=12 \) atau \( -4u+3v=12 \).
Transformasi matriks \( \begin{pmatrix}-3 & 5\\-1 & 1\end{pmatrix} \) memetakan \( (u,v) \) ke \( (X,Y) \) dengan \( X=-3u+5v \) dan \( Y=-u+v \).
Dari \( Y=-u+v \) diperoleh \( v=Y+u \). Substitusikan ke \( X=-3u+5v \): \( X=-3u+5(Y+u)=2u+5Y \), sehingga \( u=\frac{X-5Y}{2} \) dan \( v=\frac{X-3Y}{2} \).
Masukkan ke garis \( -4u+3v=12 \): \( -4\left(\frac{X-5Y}{2}\right)+3\left(\frac{X-3Y}{2}\right)=12 \). Kalikan \( 2 \): \( -4(X-5Y)+3(X-3Y)=24 \).
Sederhanakan: \( -4X+20Y+3X-9Y=24 \Rightarrow -X+11Y=24 \Rightarrow 11Y-X-24=0 \). Dengan menulis kembali \( (X,Y) \) sebagai \( (x,y) \), diperoleh \( 11y-x-24=0 \). Jawaban: E.