Soal 36
Pada gambar kubus \(ABCD.EFGH\), titik-titik \(K\), \(L\), dan \(M\) berturut-turut merupakan titik tengah \(BC\), \(CD\), dan \(CG\). Jika panjang rusuk kubus \(12\) cm, jarak antara bidang \(AFH\) dan bidang \(KLM\) adalah ....
A. \(2\sqrt{3}\) cm
B. \(4\sqrt{3}\) cm
C. \(5\sqrt{3}\) cm
D. \(6\sqrt{3}\) cm
E. \(7\sqrt{3}\) cm
Jawaban & Analisa
Gunakan koordinat kubus dengan rusuk \(12\): \(A(0,0,0)\), \(B(12,0,0)\), \(C(12,12,0)\), \(D(0,12,0)\), \(E(0,0,12)\), \(F(12,0,12)\), \(G(12,12,12)\), \(H(0,12,12)\).
Bidang \(AFH\) melalui \(A\), \(F\), dan \(H\). Vektor \( \overrightarrow{AF}=(12,0,12)\) dan \( \overrightarrow{AH}=(0,12,12)\). Normal bidang searah dengan \( \overrightarrow{AF}\times\overrightarrow{AH}\) yang sebanding dengan \((-1,-1,1)\), sehingga persamaan bidang \(AFH\) dapat ditulis \(x+y-z=0\) atau \(z=x+y\).
Titik tengah: \(K\) tengah \(BC\) adalah \(K(12,6,0)\), \(L\) tengah \(CD\) adalah \(L(6,12,0)\), dan \(M\) tengah \(CG\) adalah \(M(12,12,6)\). Bidang \(KLM\) memiliki normal sebanding dengan \((1,1,-1)\), sehingga bentuk persamaannya \(x+y-z=d\). Substitusi \(K\) memberi \(d=12+6-0=18\), jadi bidang \(KLM\) adalah \(x+y-z=18\) atau \(z=x+y-18\).
Kedua bidang paralel karena memiliki koefisien \(x\), \(y\), dan \(z\) yang sama. Jarak dua bidang paralel \(x+y-z=0\) dan \(x+y-z=18\) adalah \( \frac{|18-0|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}}=\frac{18}{\sqrt{3}}=6\sqrt{3}\). Nilai ini memenuhi \(0 \lt 6\sqrt{3} \lt 12\sqrt{3}\), sehingga masuk akal sebagai jarak antarb idang di dalam kubus.
Jawaban: D
Soal 37
Perhatikan gambar limas beraturan \(T.ABCD\). Titik \(P\), \(Q\), \(R\), dan \(S\) berturut-turut adalah titik tengah rusuk \(AB\), \(AD\), \(BC\), dan \(CD\). Jika pada gambar panjang \(AB=12\) cm dan \(TA=12\) cm, nilai sinus sudut antara bidang \(TPQ\) dengan bidang \(TRS\) adalah ....
A. \(\frac{2}{5}\)
B. \(\frac{3}{5}\)
C. \(\frac{4}{5}\)
D. \(\frac{3}{5}\sqrt{5}\)
E. \(\frac{4}{5}\sqrt{5}\)
Jawaban & Analisa
Karena limas beraturan, alas \(ABCD\) berbentuk persegi dan \(T\) tepat di atas pusat alas. Ambil koordinat alas pada \(z=0\) dengan sisi \(12\): \(A(-6,-6,0)\), \(B(6,-6,0)\), \(C(6,6,0)\), \(D(-6,6,0)\), dan \(T(0,0,h)\).
Jarak pusat ke titik \(A\) adalah \(6\sqrt{2}\). Karena \(TA=12\), maka \(12^2=(6\sqrt{2})^2+h^2\) sehingga \(h^2=72\) dan \(h=6\sqrt{2}\).
Titik tengah: \(P(0,-6,0)\), \(Q(-6,0,0)\), \(R(6,0,0)\), \(S(0,6,0)\). Normal bidang \(TPQ\) sebanding dengan \((\sqrt{2},\sqrt{2},-1)\) dan normal bidang \(TRS\) sebanding dengan \((\sqrt{2},\sqrt{2},1)\).
Sudut antarb idang sama dengan sudut antara normalnya. Maka \( \cos\theta=\frac{|(\sqrt{2},\sqrt{2},-1)\cdot(\sqrt{2},\sqrt{2},1)|}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\frac{|2+2-1|}{5}=\frac{3}{5}\). Jadi \( \sin\theta=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\).
Jawaban: C
Soal 38
Penarikan kesimpulan dari:
I. \(p \vee q\)
\(\sim p\)
\(\therefore q\)
II. \(p \rightarrow q\)
\(q \rightarrow \sim r\)
\(\therefore \sim r \rightarrow \sim p\)
III. \(p \rightarrow \sim q\)
\(q \vee r\)
\(\therefore p \rightarrow r\)
Yang sah adalah ....
A. hanya I
B. hanya I dan II
C. hanya I dan III
D. hanya II dan III
E. hanya III
Jawaban & Analisa
Untuk (I): dari \(p \vee q\) dan \(\sim p\), maka pilihan \(p\) gugur, sehingga harus \(q\) yang benar. Ini adalah aturan silogisme disjungtif, sehingga (I) sah.
Untuk (II): uji dengan contoh nilai kebenaran. Ambil \(p\) benar, \(q\) benar, dan \(r\) salah. Maka \(p \rightarrow q\) benar dan \(q \rightarrow \sim r\) juga benar karena \(\sim r\) benar. Tetapi kesimpulan \(\sim r \rightarrow \sim p\) menjadi benar \(\rightarrow\) salah, sehingga salah. Jadi (II) tidak sah.
Untuk (III): jika \(p\) benar maka \(\sim q\) benar, artinya \(q\) salah. Karena \(q \vee r\) benar sementara \(q\) salah, maka \(r\) harus benar. Jadi saat \(p\) benar, \(r\) benar, sehingga \(p \rightarrow r\) benar. Jika \(p\) salah, \(p \rightarrow r\) juga benar. Maka (III) sah.
Jawaban: C
Soal 39
Rasio suatu deret geometri tak berhingga adalah \(r=\lim_{x\to 2}\frac{x-2}{2x^2-6x+4}\). Suku pertama deret itu merupakan hasil kali skalar vektor \(\vec{a}=\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k}\) dan \(\vec{b}=2\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}\). Jumlah deret geometri tak berhingga tersebut adalah ....
A. \(\frac{1}{4}\)
B. \(\frac{1}{3}\)
C. \(\frac{4}{3}\)
D. \(2\)
E. \(4\)
Jawaban & Analisa
Hitung rasio \(r\). Faktorkan penyebut: \(2x^2-6x+4=2(x^2-3x+2)=2(x-1)(x-2)\). Untuk \(x\ne 2\), berlaku \( \frac{x-2}{2(x-1)(x-2)}=\frac{1}{2(x-1)}\). Maka \(r=\lim_{x\to 2}\frac{1}{2(x-1)}=\frac{1}{2}\), dan ini memenuhi \(0 \lt r \lt 1\) sehingga deret tak berhingga memang memiliki jumlah.
Suku pertama \(a_1\) adalah hasil kali skalar: \( \vec{a}\cdot\vec{b}=(1)(2)+(2)(1)+(2)(-1)=2+2-2=2\). Jadi \(a_1=2\).
Jumlah deret geometri tak berhingga: \(S=\frac{a_1}{1-r}=\frac{2}{1-\frac{1}{2}}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4\).
Jawaban: E
Soal 40
Jika \(x\) dan \(y\) memenuhi persamaan: \( \begin{pmatrix} 2\,^{2}\log x & ^{2}\log y \\ 3\,^{2}\log y & ^{2}\log x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} \), maka \(x\cdot y=\) ....
A. \(\frac{1}{4}\sqrt{2}\)
B. \(\frac{1}{2}\sqrt{2}\)
C. \(\sqrt{2}\)
D. \(2\sqrt{2}\)
E. \(4\sqrt{2}\)
Jawaban & Analisa
Misalkan \(a=\,^{2}\log x\) dan \(b=\,^{2}\log y\). Perkalian matriks menghasilkan dua persamaan linear.
Baris pertama: \((2a)(1)+(b)(4)=5\), sehingga \(2a+4b=5\). Baris kedua: \((3b)(1)+(a)(4)=5\), sehingga \(4a+3b=5\).
Dari \(2a+4b=5\) diperoleh \(a=\frac{5-4b}{2}\). Substitusi ke \(4a+3b=5\): \(4\left(\frac{5-4b}{2}\right)+3b=5\) sehingga \(2(5-4b)+3b=5\), yaitu \(10-8b+3b=5\). Maka \(-5b=-5\) sehingga \(b=1\), dan \(a=\frac{5-4}{2}=\frac{1}{2}\).
Karena \(a=\,^{2}\log x=\frac{1}{2}\), maka \(x=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\). Karena \(b=\,^{2}\log y=1\), maka \(y=2^1=2\). Jadi \(x\cdot y=\sqrt{2}\cdot 2=2\sqrt{2}\).
Jawaban: D