Soal 1
Ingkaran pernyataan “Jika semua anggota keluarga pergi, maka semua pintu rumah dikunci rapat.” adalah ....
A. Jika ada anggota keluarga yang tidak pergi, maka ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat.
B. Jika ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat, maka ada anggota keluarga yang tidak pergi.
C. Jika semua pintu rumah ditutup rapat, maka semua anggota keluarga pergi.
D. Semua anggota keluarga pergi dan ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat.
E. Semua pintu rumah tidak dikunci rapat dan ada anggota keluarga yang tidak pergi.
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1 (bentuk logika): Misalkan:
\( p \): “Semua anggota keluarga pergi.”
\( q \): “Semua pintu rumah dikunci rapat.”
Pernyataan soal adalah \( p \to q \).
Langkah 2 (ingkaran implikasi): Ingkaran dari \( p \to q \) adalah \( p \wedge \sim q \).
Langkah 3 (kembalikan ke kalimat):
\( \sim q \) berarti “tidak semua pintu dikunci rapat”, yaitu “ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat”.
Maka \( p \wedge \sim q \) menjadi “Semua anggota keluarga pergi dan ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat.”
Kesimpulan: sesuai opsi D.
Soal 2
Jika \( p \) dan \( q \) masing-masing adalah pernyataan, maka \( \sim(\sim p \vee \sim q) \) setara dengan pernyataan ....
A. \( p \wedge q \)
B. \( p \wedge \sim q \)
C. \( p \to q \)
D. \( \sim p \to \sim q \)
E. \( \sim p \vee q \)
Jawaban & Analisis
Kunci: A
Langkah 1 (pakai hukum De Morgan):
\( \sim(A \vee B) \) setara dengan \( (\sim A) \wedge (\sim B) \).
Langkah 2 (substitusi):
Ambil \( A=\sim p \) dan \( B=\sim q \), maka:
\( \sim(\sim p \vee \sim q)=\sim(\sim p)\wedge \sim(\sim q)=p \wedge q \).
Kesimpulan: sesuai opsi A.
Soal 3
Diketahui premis-premis berikut:
Premis 1: Jika semua siswa lulus ujian, maka semua siswa pergi liburan.
Premis 2: Beberapa siswa tidak pergi liburan.
Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah ....
A. Semua siswa tidak lulus ujian.
B. Beberapa siswa tidak lulus ujian.
C. Semua siswa tidak pergi liburan karena semua siswa tidak lulus ujian.
D. Beberapa siswa tidak pergi liburan karena beberapa siswa tidak lulus ujian.
E. Beberapa siswa tidak pergi liburan karena semua siswa tidak lulus ujian.
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1 (buat simbol):
\( p \): “Semua siswa lulus ujian.”
\( q \): “Semua siswa pergi liburan.”
Premis 1 adalah \( p \to q \).
Langkah 2 (makna premis 2):
“Beberapa siswa tidak pergi liburan” berarti \( \sim q \) (karena \( q \) menyatakan “semua” pergi liburan, maka adanya beberapa yang tidak pergi membuat “tidak semua” pergi liburan).
Langkah 3 (kontraposisi):
Dari \( p \to q \), kontraposisinya adalah \( \sim q \to \sim p \).
Karena premis 2 memberi \( \sim q \), maka diperoleh \( \sim p \), yaitu “tidak semua siswa lulus ujian”.
Langkah 4 (ubah ke bentuk ‘beberapa’):
“Tidak semua siswa lulus ujian” setara dengan “Beberapa siswa tidak lulus ujian”.
Kesimpulan: sesuai opsi B.
Soal 4
Bentuk sederhana \( \left(\frac{4p^{-\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}}{16p^{\frac{3}{2}}q^{-\frac{5}{2}}}\right)^{-1} \) adalah ....
A. \( \frac{pq^3}{4} \)
B. \( \frac{4p^2}{q^3} \)
C. \( \frac{q^2}{4p} \)
D. \( \frac{q^3}{4p^2} \)
E. \( \frac{q^2}{4p^2} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1 (sederhanakan isi kurung):
\( \frac{4p^{-\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}}{16p^{\frac{3}{2}}q^{-\frac{5}{2}}}=\frac{4}{16}\cdot p^{-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}\cdot q^{\frac{1}{2}-\left(-\frac{5}{2}\right)} \).
Langkah 2 (hitung pangkat):
\( \frac{4}{16}=\frac{1}{4} \).
\( -\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-2 \) sehingga menjadi \( p^{-2} \).
\( \frac{1}{2}-\left(-\frac{5}{2}\right)=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=3 \) sehingga menjadi \( q^3 \).
Jadi isi kurung menjadi \( \frac{1}{4}\cdot p^{-2}\cdot q^3=\frac{q^3}{4p^2} \).
Langkah 3 (pangkat \(-1\) berarti kebalikan):
\( \left(\frac{q^3}{4p^2}\right)^{-1}=\frac{4p^2}{q^3} \).
Kesimpulan: sesuai opsi B.
Soal 5
Nilai dari \( \sqrt{75}-\sqrt{48}+\sqrt{27}+2\sqrt{12} \) = ....
A. \( 16\sqrt{3} \)
B. \( 10\sqrt{3} \)
C. \( 8\sqrt{3} \)
D. \( 4\sqrt{3} \)
E. \( 2\sqrt{3} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1 (sederhanakan setiap akar):
\( \sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3} \).
\( \sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3} \).
\( \sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3} \).
\( \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3} \) sehingga \( 2\sqrt{12}=4\sqrt{3} \).
Langkah 2 (jumlahkan suku sejenis):
\( 5\sqrt{3}-4\sqrt{3}+3\sqrt{3}+4\sqrt{3}=(5-4+3+4)\sqrt{3}=8\sqrt{3} \).
Kesimpulan: \( 8\sqrt{3} \), sesuai opsi C.