Soal 26
Turunan pertama \( f(x)=(x^2-2x)^3 \) adalah ....
A. \( f'(x)=(x^2-2x)^2(6x-6) \)
B. \( f'(x)=(x^2-2x)^2(2x-2) \)
C. \( f'(x)=(x^2-2x)(6x-6) \)
D. \( f'(x)=3(x^2-2x)^2 \)
E. \( f'(x)=3(x^2-2x) \)
Jawaban & Analisis
Kunci: A
Langkah 1 (aturan rantai): Bentuk \( f(x)=(u)^3 \) dengan \( u=x^2-2x \).
Maka \( f'(x)=3u^2\cdot u' \).
Langkah 2 (turunan bagian dalam): \( u'=2x-2 \).
Langkah 3 (gabungkan):
\( f'(x)=3(x^2-2x)^2(2x-2)=6(x^2-2x)^2(x-1)=(x^2-2x)^2(6x-6) \).
Cek opsi: Bentuk akhir sama persis dengan opsi A.
Soal 27
Grafik fungsi \( f(x)=x^3-12x \) naik pada interval ....
A. \( x \gt 2 \)
B. \( -2 \lt x \lt 2 \)
C. \( x \lt -2 \) atau \( x \gt 2 \)
D. \( x \lt -4 \) atau \( x \gt 4 \)
E. \( x \lt -12 \) atau \( x \gt 12 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1 (syarat naik): Fungsi naik jika \( f'(x) \gt 0 \).
Langkah 2 (turunkan):
\( f'(x)=3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2) \).
Langkah 3 (tanda hasil kali):
Karena \( 3 \gt 0 \), tanda ditentukan oleh \( (x-2)(x+2) \).
\( (x-2)(x+2) \gt 0 \) terjadi saat \( x \lt -2 \) atau \( x \gt 2 \).
Kesimpulan: interval naik adalah \( x \lt -2 \) atau \( x \gt 2 \).
Soal 28
Hasil dari \( \int (4x^3+6x^2-x+3)\,dx \) = ....
A. \( 12x^4+12x^3-\frac{1}{2}x^2+3+C \)
B. \( 12x^4+12x^3-x^2+3+C \)
C. \( x^4+3x^2-x^2+3x+C \)
D. \( x^4+2x^3-\frac{1}{2}x^2+3x+C \)
E. \( x^4+2x^2-x^2+3+C \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1 (integralkan per suku):
\( \int 4x^3\,dx=x^4 \).
\( \int 6x^2\,dx=2x^3 \).
\( \int (-x)\,dx=-\frac{1}{2}x^2 \).
\( \int 3\,dx=3x \).
Langkah 2 (gabungkan):
\( \int (4x^3+6x^2-x+3)\,dx=x^4+2x^3-\frac{1}{2}x^2+3x+C \).
Kesimpulan: cocok dengan opsi D.
Soal 29
Nilai dari \( \int_{1}^{3}(3x^2+6x-5)\,dx \) = ....
A. \( 32 \)
B. \( 38 \)
C. \( 40 \)
D. \( 46 \)
E. \( 50 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1 (antiturunan):
\( \int (3x^2+6x-5)\,dx=x^3+3x^2-5x \).
Langkah 2 (substitusi batas):
Nilai di \( x=3 \): \( 3^3+3\cdot 3^2-5\cdot 3=27+27-15=39 \).
Nilai di \( x=1 \): \( 1^3+3\cdot 1^2-5\cdot 1=1+3-5=-1 \).
Langkah 3 (selisih):
\( \int_{1}^{3}(3x^2+6x-5)\,dx=39-(-1)=40 \).
Soal 30
Perhatikan gambar berikut. Luas daerah yang diarsir dinyatakan dalam bentuk integral adalah ....
A. \( L=\int_{2}^{5}(12-4x)\,dx \)
B. \( L=\int_{2}^{5}(3x+12)x\,dx \)
C. \( L=\int_{2}^{5}(x+3)\,dx \)
D. \( L=\int_{2}^{5}(3x+4)\,dx \)
E. \( L=\int_{2}^{5}(x+12)\,dx \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Ide luas daerah: luas daerah di antara dua grafik pada interval \( 2 \le x \le 5 \) ditulis sebagai \( L=\int_{2}^{5}(\text{atas}-\text{bawah})\,dx \).
Langkah 1 (batas \( x \)): dari gambar terlihat daerah diarsir dibatasi garis vertikal \( x=2 \) dan \( x=5 \), sehingga batas integral \( 2 \) sampai \( 5 \).
Langkah 2 (tinggi irisan vertikal): dari gambar, selisih fungsi pembatas (atas dikurangi bawah) menyederhana menjadi \( 3x+4 \), sehingga luas dapat dinyatakan sebagai \( L=\int_{2}^{5}(3x+4)\,dx \).
Kesimpulan: bentuk integral yang sesuai adalah opsi D.