Soal 31
Seorang mahasiswa kuliah di luar negeri ingin menambah uang saku dengan cara bekerja sambil kuliah. Ia hanya dipebolehkan bekerja selama \( 10 \) jam setiap minggu. Dalam satu minggu ia dapat bekerja pada hari Jumat, Sabtu, dan Minggu. Jika ia bekerja dihitung dalam satuan jam dan bekerja paling sedikit \( 2 \) jam setiap hari, maka banyak komposisi lama jam kerja pada hari-hari tersebut yang mungkin adalah ....
A. \( 6 \)
B. \( 9 \)
C. \( 12 \)
D. \( 15 \)
E. \( 18 \)
Jawaban & Analisis (klik untuk buka)
Kunci: D
Misalkan lama kerja (jam) pada Jumat, Sabtu, Minggu berturut-turut \( a \), \( b \), \( c \).
Diketahui \( a+b+c=10 \) dan masing-masing minimal \( 2 \) jam, sehingga \( a \ge 2 \), \( b \ge 2 \), \( c \ge 2 \).
Agar lebih mudah, kurangi masing-masing dengan \( 2 \):
Misal \( a'=a-2 \), \( b'=b-2 \), \( c'=c-2 \) sehingga \( a' \ge 0 \), \( b' \ge 0 \), \( c' \ge 0 \).
Substitusi ke persamaan jumlah:
\( (a'+2)+(b'+2)+(c'+2)=10 \Rightarrow a'+b'+c'=4 \).
Jumlah solusi bilangan bulat tak negatif untuk \( a'+b'+c'=4 \) adalah metode “bintang dan garis”:
\( \binom{4+3-1}{3-1}=\binom{6}{2}=15 \).
Jadi banyak komposisi yang mungkin adalah \( 15 \).
Soal 32
Dari \( 8 \) orang calon pengurus karang taruna akan dipilih satu orang ketua, satu orang sekretaris, dan satu orang bendahara. Banyak susunan pengurus yang dapat dibentuk adalah ....
A. \( 56 \)
B. \( 120 \)
C. \( 210 \)
D. \( 336 \)
E. \( 343 \)
Jawaban & Analisis (klik untuk buka)
Kunci: D
Karena jabatan berbeda (ketua, sekretaris, bendahara), maka urutan penting, sehingga memakai permutasi.
Pilih ketua: \( 8 \) cara.
Pilih sekretaris dari sisa orang: \( 7 \) cara.
Pilih bendahara dari sisa orang: \( 6 \) cara.
Total susunan: \( 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336 \).
Soal 33
Dari \( 10 \) orang anggota PMR akan dikirim \( 2 \) orang untuk mengikuti pelantikan PMR tingkat lanjut. Banyak pilihan yang mungkin terbentuk adalah ....
A. \( 1024 \)
B. \( 240 \)
C. \( 90 \)
D. \( 45 \)
E. \( 20 \)
Jawaban & Analisis (klik untuk buka)
Kunci: D
Yang dipilih adalah \( 2 \) orang tanpa jabatan/urutan, sehingga urutan tidak penting. Gunakan kombinasi:
\( \binom{10}{2}=\frac{10\cdot 9}{2}=45 \).
Soal 34
Untuk menggalang keakraban di kalangan pelajar, dua sekolah menengah SMA “A” dan SMA “B” yang lokasinya berdekatan, berkolaborasi di bidang ekstrakurikuler yaitu olahraga Futsal, Paskibra, dan Seni. Sebanyak \( 40 \) siswa SMA “A” dan \( 60 \) siswa SMA “B” mengikuti kegiatan dan siswa-siswa tersebut hanya boleh mengikuti satu kegiatan. Ada \( 25 \) siswa yang mengikuti kegiatan olahraga Futsal dan \( 40 \) siswa mengikuti Paskibra. Ada \( 30 \) siswa SMA “B” yang mengikuti kegiatan seni dan \( 15 \) siswa SMA “A” mengikuti kegiatan olahraga Futsal. Jika seorang siswa diambil secara acak, maka peluang yang terpilih dari SMA “B” dan mengikuti Paskibra adalah ....
A. \( \frac{3}{10} \)
B. \( \frac{1}{5} \)
C. \( \frac{3}{20} \)
D. \( \frac{1}{10} \)
E. \( \frac{1}{20} \)
Jawaban & Analisis (klik untuk buka)
Kunci: B
Total siswa \( =40+60=100 \). Total Futsal \( =25 \) dan total Paskibra \( =40 \), maka total Seni:
\( 100-25-40=35 \).
Diketahui siswa SMA “B” yang ikut Seni \( =30 \), maka siswa SMA “A” yang ikut Seni:
\( 35-30=5 \).
Diketahui siswa SMA “A” yang ikut Futsal \( =15 \), maka siswa SMA “B” yang ikut Futsal:
\( 25-15=10 \).
Sekarang hitung Paskibra per sekolah.
Jumlah siswa SMA “A” \( =40 \), sudah terpakai untuk Futsal \( 15 \) dan Seni \( 5 \), sehingga Paskibra SMA “A”:
\( 40-15-5=20 \).
Jumlah siswa SMA “B” \( =60 \), sudah terpakai untuk Futsal \( 10 \) dan Seni \( 30 \), sehingga Paskibra SMA “B”:
\( 60-10-30=20 \).
Peluang terpilih dari SMA “B” dan ikut Paskibra \( =\frac{20}{100}=\frac{1}{5} \).
Soal 35
Dua dadu dilempar undi bersama-sama \( 120 \) kali. Frekuensi harapan muncul mata dadu berjumlah kurang dari \( 7 \) adalah ....
A. \( 20 \) kali
B. \( 30 \) kali
C. \( 50 \) kali
D. \( 60 \) kali
E. \( 80 \) kali
Jawaban & Analisis (klik untuk buka)
Kunci: C
Jumlah mata dadu \( \lt 7 \) berarti jumlahnya \( 2,3,4,5,6 \).
Banyak pasangan yang menghasilkan:
Jumlah \( 2 \): \( 1 \) cara, jumlah \( 3 \): \( 2 \) cara, jumlah \( 4 \): \( 3 \) cara, jumlah \( 5 \): \( 4 \) cara, jumlah \( 6 \): \( 5 \) cara.
Total kejadian menguntungkan \( =1+2+3+4+5=15 \) dari \( 36 \) kemungkinan, sehingga peluangnya \( \frac{15}{36}=\frac{5}{12} \).
Frekuensi harapan \( =120 \cdot \frac{5}{12}=50 \).