Soal 21
Diketahui matriks \( A=\begin{pmatrix}2 & p & 3\\ 4 & 5 & q\end{pmatrix} \), \( B=\begin{pmatrix}1 & q & -1\\ 2 & 3 & q\end{pmatrix} \), dan \( C=\begin{pmatrix}3 & 4 & 2\\ 6 & 8 & 2\end{pmatrix} \). Jika \( A+B=C \), maka nilai \( p \) dan \( q \) berturut-turut adalah ....
A. \( 2 \) dan \( 2 \)
B. \( 6 \) dan \( -2 \)
C. \( 5 \) dan \( -1 \)
D. \( 3 \) dan \( 1 \)
E. \( -3 \) dan \( 1 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1: Karena \( A+B=C \), maka setiap elemen yang bersesuaian harus sama.
Baris 1 kolom 2: \( p+q=4 \Rightarrow p=4-q \).
Baris 2 kolom 3: \( q+q=2 \Rightarrow 2q=2 \Rightarrow q=1 \).
Langkah 2: Substitusi \( q=1 \) ke \( p=4-q \).
\( p=4-1=3 \).
Kesimpulan: \( p=3 \) dan \( q=1 \). Karena \( 1 \gt 0 \), nilai \( q \) konsisten sebagai bilangan real biasa.
Soal 22
Diketahui matriks \( A=\begin{pmatrix}1 & 4\\ -2 & -3\end{pmatrix} \). Jika \( A^{T} \) adalah transpose matriks \( A \), maka nilai determinan \( A^{T} \) adalah ....
A. \( 11 \)
B. \( 5 \)
C. \( -5 \)
D. \( -9 \)
E. \( -11 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1: Determinan transpose sama dengan determinan matriks asal, yaitu \( \det(A^{T})=\det(A) \).
Langkah 2: Hitung \( \det(A) \).
\( \det(A)=\begin{vmatrix}1 & 4\\ -2 & -3\end{vmatrix}=(1)(-3)-(4)(-2)=-3+8=5 \).
Kesimpulan: \( \det(A^{T})=5 \) dan \( 5 \gt 0 \).
Soal 23
\( X \) adalah matriks persegi ordo \( 2 \) yang memenuhi \( X\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 8\\ 5 & 8\end{pmatrix} \). Matriks \( X \) adalah ....
A. \( \begin{pmatrix}3 & 2\\ -2 & 1\end{pmatrix} \)
B. \( \begin{pmatrix}3 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix} \)
C. \( \begin{pmatrix}-4 & 0\\ -1 & -2\end{pmatrix} \)
D. \( \begin{pmatrix}4 & 0\\ 1 & 2\end{pmatrix} \)
E. \( \begin{pmatrix}4 & 0\\ -1 & 2\end{pmatrix} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1: Misalkan \( M=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 3\end{pmatrix} \) dan \( N=\begin{pmatrix}4 & 8\\ 5 & 8\end{pmatrix} \). Persamaan menjadi \( XM=N \), sehingga \( X=NM^{-1} \) (jika \( M \) invertibel).
Langkah 2: Hitung determinan \( M \).
\( \det(M)=(1)(3)-(2)(2)=3-4=-1 \) sehingga \( \det(M)\ne 0 \) dan \( -1 \lt 0 \), maka \( M^{-1} \) ada.
Langkah 3: Invers matriks \( 2\times 2 \):
Jika \( M=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix} \), maka \( M^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\ -c & a\end{pmatrix} \).
\( M^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}3 & -2\\ -2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & 2\\ 2 & -1\end{pmatrix} \).
Langkah 4: Hitung \( X=NM^{-1} \).
\( X=\begin{pmatrix}4 & 8\\ 5 & 8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-3 & 2\\ 2 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4(-3)+8(2) & 4(2)+8(-1)\\ 5(-3)+8(2) & 5(2)+8(-1)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 & 0\\ 1 & 2\end{pmatrix}. \)
Kesimpulan: \( X=\begin{pmatrix}4 & 0\\ 1 & 2\end{pmatrix} \).
Soal 24
Diketahui barisan aritmatika dengan suku pertama \( 3 \) dan suku ke-\( 5 \) adalah \( 11 \). Jumlah \( 20 \) suku pertama deret tersebut adalah ....
A. \( 420 \)
B. \( 430 \)
C. \( 440 \)
D. \( 460 \)
E. \( 5540 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1: Rumus suku ke-\( n \) barisan aritmatika \( U_n=a+(n-1)d \).
Diketahui \( a=3 \) dan \( U_5=11 \), maka \( 11=3+4d \Rightarrow 4d=8 \Rightarrow d=2 \).
Langkah 2: Rumus jumlah \( n \) suku pertama \( S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a+(n-1)d\bigr) \).
\( S_{20}=\frac{20}{2}\bigl(2(3)+19(2)\bigr)=10(6+38)=10\cdot 44=440 \).
Kesimpulan: \( S_{20}=440 \) dan \( 440 \gt 0 \).
Soal 25
Suku pertama barisan geometri adalah \( 6 \) dan suku ke-\( 6 \) adalah \( 192 \). Jumlah tujuh suku pertama deret geometri tersebut adalah ....
A. \( 390 \)
B. \( 762 \)
C. \( 1530 \)
D. \( 1536 \)
E. \( 4374 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1: Rumus suku ke-\( n \) geometri \( U_n=ar^{n-1} \).
Diketahui \( a=6 \) dan \( U_6=192 \), maka \( 192=6r^5 \Rightarrow r^5=32 \Rightarrow r=2 \) karena \( 2 \gt 1 \).
Langkah 2: Jumlah \( 7 \) suku pertama \( S_7=a\frac{r^7-1}{r-1} \) untuk \( r\ne 1 \).
\( S_7=6\cdot\frac{2^7-1}{2-1}=6(128-1)=6\cdot 127=762 \).
Kesimpulan: jumlah \( 7 \) suku pertama adalah \( 762 \).