Soal 1
Diketahui premis-premis:
\( (1) \) Jika Badu rajin belajar dan patuh pada orang tua, maka Ayah membelikan bola basket.
\( (2) \) Ayah tidak membelikan bola basket.
Kesimpulan yang sah adalah ....
A. Badu rajin belajar dan Badu patuh pada orang tua
B. Badu tidak rajin belajar dan Badu tidak patuh pada orang tua
C. Badu tidak rajin belajar atau Badu tidak patuh pada orang tua
D. Badu tidak rajin belajar dan Badu patuh pada orang tua
E. Badu rajin belajar atau Badu tidak patuh pada orang tua
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1 (misalkan): \( p \): “Badu rajin belajar”, \( q \): “Badu patuh pada orang tua”, \( r \): “Ayah membelikan bola basket”.
Premis \( (1) \) menjadi \( (p \land q)\Rightarrow r \).
Premis \( (2) \) menjadi \( \neg r \).
Langkah 2 (modus tollens): Dari \( (p \land q)\Rightarrow r \) dan \( \neg r \), diperoleh \( \neg(p \land q) \).
Langkah 3 (hukum De Morgan): \( \neg(p \land q)\equiv (\neg p \lor \neg q) \).
Terjemahan: “Badu tidak rajin belajar atau Badu tidak patuh pada orang tua”, yaitu opsi C.
Catatan: Opsi B dan D terlalu kuat (mengandung “dan”). Dari \( \neg(p \land q) \) yang pasti hanya “minimal salah satu” dari \( p \) atau \( q \) tidak terpenuhi, bukan keduanya.
Soal 2
Ingkaran dari pernyataan “Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” adalah ....
A. Semua bilangan prima adalah bilangan genap
B. Semua bilangan prima bukan bilangan genap
C. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap
D. Beberapa bilangan genap bukan bilangan prima
E. Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1 (makna “beberapa”): “Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” berarti \( \exists x \) sehingga \( x \) prima dan \( x \) genap.
Langkah 2 (negasi kuantor): Negasi dari \( \exists x\,P(x) \) adalah \( \forall x\,\neg P(x) \).
Langkah 3 (terjemahan): “Untuk semua bilangan prima, bilangan itu tidak genap”, artinya semua bilangan prima bukan bilangan genap, yaitu opsi B.
Catatan: Opsi C bukan ingkaran, karena “beberapa prima bukan genap” masih bisa benar bersamaan dengan pernyataan awal.
Soal 3
Perbandingan umur Ali dan Badu \( 6 \) tahun yang lalu adalah \( 5:6 \). Hasil kali umur keduanya sekarang adalah \( 1512 \). Umur Ali sekarang adalah .... tahun.
A. \( 30 \)
B. \( 35 \)
C. \( 36 \)
D. \( 38 \)
E. \( 42 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1: Misalkan umur Ali \( 6 \) tahun lalu \( =5k \) dan umur Badu \( 6 \) tahun lalu \( =6k \), dengan \( k \gt 0 \).
Langkah 2: Umur sekarang berarti ditambah \( 6 \):
Umur Ali sekarang \( =5k+6 \) dan umur Badu sekarang \( =6k+6 \).
Langkah 3: Hasil kali sekarang \( 1512 \), maka:
\( (5k+6)(6k+6)=1512 \).
Langkah 4: Kembangkan:
\( (5k+6)(6k+6)=30k^2+30k+36 \).
Jadi \( 30k^2+30k+36=1512 \Rightarrow 30k^2+30k-1476=0 \).
Bagi \( 6 \): \( 5k^2+5k-246=0 \).
Langkah 5: Cari akar:
Diskriminan \( \Delta=5^2-4(5)(-246)=25+4920=4945 \).
Karena \( k \) harus menghasilkan umur bilangan bulat, uji pilihan yang mungkin dengan memfaktorkan bentuk awal lebih cepat.
Langkah cepat (substitusi opsi): Jika umur Ali sekarang \( =36 \), maka umur Ali \( 6 \) tahun lalu \( =30 \). Karena rasio \( 5:6 \), maka umur Badu \( 6 \) tahun lalu \( =\frac{6}{5}\cdot 30=36 \), sehingga umur Badu sekarang \( =42 \).
Cek hasil kali: \( 36\cdot 42=1512 \) benar.
Kesimpulan: umur Ali sekarang \( 36 \) tahun.
Soal 4
Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik minimum \( (1,2) \) dan melalui titik \( (2,3) \) adalah ....
A. \( y=x^2-2x+1 \)
B. \( y=x^2-2x+3 \)
C. \( y=x^2+2x-1 \)
D. \( y=x^2+2x+1 \)
E. \( y=x^2-2x-3 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1 (bentuk puncak): Jika titik balik (puncak) adalah \( (h,k) \), maka bentuk fungsi \( y=a(x-h)^2+k \).
Karena puncak \( (1,2) \), maka \( y=a(x-1)^2+2 \).
Langkah 2 (substitusi titik yang dilalui): Titik \( (2,3) \) memenuhi grafik, sehingga:
\( 3=a(2-1)^2+2 \Rightarrow 3=a\cdot 1+2 \Rightarrow a=1 \).
Langkah 3 (ubah ke bentuk umum):
\( y=(x-1)^2+2=x^2-2x+1+2=x^2-2x+3 \).
Kesimpulan: persamaan grafiknya \( y=x^2-2x+3 \), yaitu opsi B.
Soal 5
Diketahui persamaan \( \begin{pmatrix}a & 4\\ -1 & c\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2 & b\\ d & -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -3\\ 3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} \). Nilai \( a+b+c+d \) adalah ....
A. \( -7 \)
B. \( -5 \)
C. \( 1 \)
D. \( 3 \)
E. \( 7 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: A
Langkah 1: Hitung hasil kali matriks ruas kanan.
\( \begin{pmatrix}1 & -3\\ 3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot 0+(-3)\cdot 1 & 1\cdot 1+(-3)\cdot 0\\ 3\cdot 0+4\cdot 1 & 3\cdot 1+4\cdot 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3 & 1\\ 4 & 3\end{pmatrix} \).
Langkah 2: Jumlahkan matriks ruas kiri.
\( \begin{pmatrix}a & 4\\ -1 & c\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2 & b\\ d & -3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a+2 & 4+b\\ -1+d & c-3\end{pmatrix} \).
Langkah 3: Samakan elemen yang bersesuaian dengan \( \begin{pmatrix}-3 & 1\\ 4 & 3\end{pmatrix} \).
\( a+2=-3 \Rightarrow a=-5 \).
\( 4+b=1 \Rightarrow b=-3 \).
\( -1+d=4 \Rightarrow d=5 \).
\( c-3=3 \Rightarrow c=6 \).
Langkah 4: Hitung \( a+b+c+d \).
\( a+b+c+d=-5+(-3)+6+5=3 \).
Kesimpulan: nilai \( a+b+c+d \) adalah \( 3 \), sehingga opsi yang benar adalah D.