Soal 16
Persamaan garis singgung melalui titik \( A(-2,-1) \) pada lingkaran \( x^2+y^2+12x-6y+13=0 \) adalah ....
A. \( -2x-y-5=0 \)
B. \( x-y+1=0 \)
C. \( x+2y+4=0 \)
D. \( 3x-2y+4=0 \)
E. \( 2x-y+3=0 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1: Bentuk umum lingkaran \( x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 \).
Dari \( x^2+y^2+12x-6y+13=0 \) diperoleh \( g=6 \), \( f=-3 \), dan \( c=13 \).
Langkah 2: Rumus garis singgung lingkaran di titik \( (x_1,y_1) \) pada lingkaran tersebut adalah
\( xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0 \).
Langkah 3: Substitusi \( (x_1,y_1)=(-2,-1) \).
\( x(-2)+y(-1)+6(x-2)+(-3)(y-1)+13=0 \).
Langkah 4: Sederhanakan.
\( -2x-y+6x-12-3y+3+13=0 \Rightarrow 4x-4y+4=0 \Rightarrow x-y+1=0 \).
Soal 17
Salah satu faktor suku banyak \( P(x)=x^4-15x^2-10x+n \) adalah \( (x+2) \). Faktor lainnya adalah ....
A. \( x-4 \)
B. \( x+4 \)
C. \( x+6 \)
D. \( x-6 \)
E. \( x-8 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: A
Langkah 1: Jika \( (x+2) \) faktor, maka \( P(-2)=0 \).
\( P(-2)=(-2)^4-15(-2)^2-10(-2)+n=16-60+20+n=-24+n \).
Karena \( P(-2)=0 \), maka \( -24+n=0 \Rightarrow n=24 \).
Langkah 2: Dengan \( n=24 \), cek opsi akar linear. Jika \( (x-a) \) faktor, maka \( P(a)=0 \).
Uji \( a=4 \):
\( P(4)=4^4-15\cdot 4^2-10\cdot 4+24=256-240-40+24=0 \).
Kesimpulan: \( x-4 \) adalah faktor lainnya.
Soal 18
Pada toko buku “Murah”, Adil membeli \( 4 \) buku, \( 2 \) pulpen, dan \( 3 \) pensil dengan harga Rp\( 26.000,00 \). Bima membeli \( 3 \) buku, \( 3 \) pulpen, dan \( 1 \) pensil dengan harga Rp\( 21.500,00 \). Citra membeli \( 3 \) buku dan \( 1 \) pensil dengan harga Rp\( 12.500,00 \). Jika Dina membeli \( 2 \) pulpen dan \( 2 \) pensil, maka ia harus membayar ....
A. Rp\( 5.000,00 \)
B. Rp\( 6.500,00 \)
C. Rp\( 10.000,00 \)
D. Rp\( 11.000,00 \)
E. Rp\( 13.000,00 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1: Misalkan harga buku \( =b \), pulpen \( =p \), dan pensil \( =s \) (dalam rupiah).
Langkah 2: Bentuk sistem persamaan dari data pembelian.
\( 4b+2p+3s=26000 \), \( 3b+3p+s=21500 \), \( 3b+s=12500 \).
Langkah 3: Dari \( 3b+s=12500 \) diperoleh \( s=12500-3b \).
Langkah 4: Substitusi ke \( 3b+3p+s=21500 \).
\( 3b+3p+(12500-3b)=21500 \Rightarrow 3p=9000 \Rightarrow p=3000 \).
Langkah 5: Substitusi \( p=3000 \) dan \( s=12500-3b \) ke \( 4b+2p+3s=26000 \).
\( 4b+2(3000)+3(12500-3b)=26000 \Rightarrow 4b+6000+37500-9b=26000 \Rightarrow -5b=-17500 \Rightarrow b=3500 \).
Maka \( s=12500-3(3500)=2000 \).
Langkah 6: Dina membeli \( 2 \) pulpen dan \( 2 \) pensil, jadi biaya \( =2p+2s \).
\( 2p+2s=2(3000)+2(2000)=10000 \Rightarrow \) Rp\( 10.000,00 \).
Soal 19
Daerah yang diarsir pada gambar merupakan himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linier. Nilai maksimum dari \( f(x,y)=7x+6y \) adalah ....
A. \( 88 \)
B. \( 94 \)
C. \( 102 \)
D. \( 106 \)
E. \( 196 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1: Dari grafik, dua garis batas dapat dibaca dari titik potong sumbu:
Garis \( 1 \) melalui \( (0,20) \) dan \( (12,0) \) sehingga persamaannya \( y=-\frac{5}{3}x+20 \).
Garis \( 2 \) melalui \( (0,15) \) dan \( (18,0) \) sehingga persamaannya \( y=-\frac{5}{6}x+15 \).
Langkah 2: Daerah arsiran berada di kuadran I, sehingga \( x \ge 0 \) dan \( y \ge 0 \), serta di bawah kedua garis tersebut.
Langkah 3: Titik pojok daerah feasible adalah perpotongan garis/sumbu:
\( (0,0) \), \( (0,15) \), \( (12,0) \), dan titik potong kedua garis.
Langkah 4: Cari titik potong kedua garis:
\( -\frac{5}{3}x+20=-\frac{5}{6}x+15 \Rightarrow -10x+120=-5x+90 \Rightarrow x=6 \).
Substitusi \( x=6 \) ke \( y=-\frac{5}{6}x+15 \) memberi \( y=10 \), jadi titiknya \( (6,10) \).
Langkah 5: Hitung nilai \( f(x,y)=7x+6y \) di titik-titik pojok.
\( f(0,0)=0 \).
\( f(0,15)=7(0)+6(15)=90 \).
\( f(12,0)=7(12)+6(0)=84 \).
\( f(6,10)=7(6)+6(10)=42+60=102 \).
Kesimpulan: karena \( 102 \gt 90 \) dan \( 102 \gt 84 \), nilai maksimum adalah \( 102 \).
Soal 20
Seorang pembuat kue mempunyai \( 4 \) kg gula dan \( 9 \) kg tepung. Untuk membuat sebuah kue jenis \( A \) dibutuhkan \( 20 \) gram gula dan \( 60 \) gram tepung, sedangkan untuk membuat sebuah kue jenis \( B \) dibutuhkan \( 20 \) gram gula dan \( 40 \) gram tepung. Jika kue \( A \) dijual dengan harga Rp\( 4.000,00 \) per buah dan kue \( B \) dijual dengan harga Rp\( 3.000,00 \) per buah, maka pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut adalah ....
A. Rp\( 600.000,00 \)
B. Rp\( 650.000,00 \)
C. Rp\( 700.000,00 \)
D. Rp\( 750.000,00 \)
E. Rp\( 800.000,00 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1: Misalkan banyak kue \( A \) adalah \( a \) dan banyak kue \( B \) adalah \( b \), dengan \( a \ge 0 \) dan \( b \ge 0 \).
Langkah 2 (kendala gula): \( 4 \) kg \( =4000 \) gram.
\( 20a+20b \le 4000 \Rightarrow a+b \le 200 \).
Langkah 3 (kendala tepung): \( 9 \) kg \( =9000 \) gram.
\( 60a+40b \le 9000 \Rightarrow 3a+2b \le 450 \).
Langkah 4 (fungsi tujuan): Pendapatan \( R=4000a+3000b \).
Langkah 5: Cari titik pojok daerah feasible.
Jika \( a=0 \), maka \( b \le 200 \) sehingga titik \( (0,200) \).
Jika \( b=0 \), maka \( 3a \le 450 \Rightarrow a \le 150 \) sehingga titik \( (150,0) \).
Titik potong \( a+b=200 \) dan \( 3a+2b=450 \):
\( b=200-a \Rightarrow 3a+2(200-a)=450 \Rightarrow a=50 \Rightarrow b=150 \).
Jadi titik potongnya \( (50,150) \).
Langkah 6: Hitung \( R \) pada titik-titik pojok.
\( R(0,200)=4000(0)+3000(200)=600000 \).
\( R(150,0)=4000(150)+3000(0)=600000 \).
\( R(50,150)=4000(50)+3000(150)=200000+450000=650000 \).
Kesimpulan: karena \( 650000 \gt 600000 \), pendapatan maksimum adalah Rp\( 650.000,00 \).