Soal 31
Nilai dari \( \lim\limits_{x\to 2}\frac{x^3-4x}{x-2} \) = ....
A. \( 32 \)
B. \( 16 \)
C. \( 8 \)
D. \( 4 \)
E. \( 2 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1: Faktorkan pembilang.
\( x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2) \).
Langkah 2: Sederhanakan pecahan (untuk \( x\ne 2 \)).
\( \frac{x(x-2)(x+2)}{x-2}=x(x+2) \).
Langkah 3: Hitung limitnya.
\( \lim\limits_{x\to 2}x(x+2)=2(2+2)=8 \).
Soal 32
Diketahui \( f(x)=\frac{x^2+3}{2x+1} \). Jika \( f'(x) \) menyatakan turunan pertama \( f(x) \), maka \( f(0)+2f'(0) \) = ....
A. \( -10 \)
B. \( -9 \)
C. \( -7 \)
D. \( -5 \)
E. \( -3 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: E
Langkah 1: Hitung \( f(0) \).
\( f(0)=\frac{0^2+3}{2(0)+1}=\frac{3}{1}=3 \).
Langkah 2: Turunkan \( f(x)=\frac{u}{v} \) dengan aturan hasil bagi \( f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2} \).
Ambil \( u=x^2+3 \Rightarrow u'=2x \) dan \( v=2x+1 \Rightarrow v'=2 \).
\( f'(x)=\frac{(2x)(2x+1)-(x^2+3)(2)}{(2x+1)^2} \).
Langkah 3: Hitung \( f'(0) \).
Pembilang saat \( x=0 \): \( (0)(1)- (3)(2)= -6 \).
Penyebut saat \( x=0 \): \( (1)^2=1 \).
Jadi \( f'(0)=-6 \).
Langkah 4: Hitung \( f(0)+2f'(0) \).
\( 3+2(-6)=3-12=-9 \).
Kesimpulan: \( f(0)+2f'(0)=-9 \), sehingga jawaban yang benar adalah opsi B.
Soal 33
Sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya berbentuk persegi mempunyai volume \( 4 \) m\( ^3 \) dan dibuat dari selembar karton. Agar karton yang diperlukan sedikit mungkin, maka ukuran panjang, lebar, dan tinggi kotak berturut-turut adalah ....
A. \( 2 \) m, \( 1 \) m, \( 2 \) m
B. \( 2 \) m, \( 2 \) m, \( 1 \) m
C. \( 1 \) m, \( 2 \) m, \( 2 \) m
D. \( 4 \) m, \( 1 \) m, \( 1 \) m
E. \( 1 \) m, \( 1 \) m, \( 4 \) m
Jawaban & Analisis
Kunci: A
Langkah 1: Misalkan sisi alas persegi \( =x \) m dan tinggi \( =h \) m.
Volume \( V=x^2h=4 \Rightarrow h=\frac{4}{x^2} \) dengan \( x \gt 0 \).
Langkah 2: Luas karton (tanpa tutup) adalah luas alas + luas 4 sisi.
\( S=x^2+4(xh)=x^2+4x\left(\frac{4}{x^2}\right)=x^2+\frac{16}{x} \).
Langkah 3: Minimumkan \( S(x) \) dengan turunan.
\( S'(x)=2x-\frac{16}{x^2} \).
Set \( S'(x)=0 \Rightarrow 2x=\frac{16}{x^2} \Rightarrow 2x^3=16 \Rightarrow x^3=8 \Rightarrow x=2 \).
Langkah 4: Hitung tinggi.
\( h=\frac{4}{x^2}=\frac{4}{4}=1 \).
Kesimpulan: panjang \( =2 \) m, lebar \( =2 \) m, tinggi \( =1 \) m (alas persegi), sehingga pilihan yang sesuai adalah opsi B.
Catatan: Karena alasnya persegi, seharusnya panjang dan lebar sama. Maka opsi yang benar adalah \( 2 \) m, \( 2 \) m, \( 1 \) m.
Soal 34
Turunan pertama dari \( y=\frac{\sin x}{\sin x+\cos x} \) adalah \( y'=\) ....
A. \( \frac{\cos x}{(\sin x+\cos x)^2} \)
B. \( \frac{1}{(\sin x+\cos x)^2} \)
C. \( \frac{2}{(\sin x+\cos x)^2} \)
D. \( \frac{\sin x-\cos x}{(\sin x+\cos x)^2} \)
E. \( \frac{2\sin x\cdot\cos x}{(\sin x+\cos x)^2} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1: Gunakan aturan hasil bagi \( \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} \).
Ambil \( u=\sin x \Rightarrow u'=\cos x \).
Ambil \( v=\sin x+\cos x \Rightarrow v'=\cos x-\sin x \).
Langkah 2: Substitusi.
\( y'=\frac{\cos x(\sin x+\cos x)-\sin x(\cos x-\sin x)}{(\sin x+\cos x)^2} \).
Langkah 3: Sederhanakan pembilang.
\( \cos x\sin x+\cos^2 x-\sin x\cos x+\sin^2 x=\cos^2 x+\sin^2 x=1 \).
Kesimpulan: \( y'=\frac{1}{(\sin x+\cos x)^2} \).
Soal 35
Hasil dari \( \int \cos^2 x\cdot \sin x\, dx \) adalah ....
A. \( \frac{1}{3}\cos^3 x+C \)
B. \( -\frac{1}{3}\cos^3 x+C \)
C. \( -\frac{1}{3}\sin^3 x+C \)
D. \( \frac{1}{3}\sin^3 x+C \)
E. \( 3\sin^3 x+C \)
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1 (substitusi): Ambil \( u=\cos x \) sehingga \( du=-\sin x\,dx \) atau \( \sin x\,dx=-du \).
Langkah 2: Ubah integral.
\( \int \cos^2 x\cdot \sin x\,dx=\int u^2(-du)=-\int u^2\,du \).
Langkah 3: Hitung integral polinom.
\( -\int u^2\,du=-\frac{u^3}{3}+C \).
Langkah 4: Kembalikan \( u=\cos x \).
Hasilnya \( -\frac{1}{3}\cos^3 x+C \).