Soal 36
Hasil \( \int_{1}^{4}\frac{2}{x\sqrt{x}}\,dx \) = ....
A. \( -12 \)
B. \( -4 \)
C. \( -3 \)
D. \( 2 \)
E. \( \frac{3}{2} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1: Ubah integran ke bentuk pangkat.
\( \frac{2}{x\sqrt{x}}=\frac{2}{x\cdot x^{\frac{1}{2}}}=2x^{-\frac{3}{2}} \).
Langkah 2: Integralkan.
\( \int 2x^{-\frac{3}{2}}dx=2\cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}}=-4x^{-\frac{1}{2}} \).
Langkah 3: Substitusi batas \( 1 \) sampai \( 4 \).
\( \left[-4x^{-\frac{1}{2}}\right]_{1}^{4}=-4\cdot 4^{-\frac{1}{2}}-(-4\cdot 1^{-\frac{1}{2}}) \).
\( 4^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2} \), sehingga hasilnya \( -4\cdot \frac{1}{2}+4=-2+4=2 \).
Kesimpulan: nilai integral adalah \( 2 \), sesuai opsi D.
Soal 37
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva \( y=-x^2+4x \), sumbu \( x \), garis \( x=1 \), dan \( x=3 \) adalah .... satuan luas.
A. \( 3\frac{2}{3} \)
B. \( 5\frac{1}{3} \)
C. \( 7\frac{1}{3} \)
D. \( 9\frac{1}{3} \)
E. \( 10\frac{2}{3} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1: Karena daerah dibatasi sumbu \( x \), pastikan \( y \ge 0 \) pada \( 1 \le x \le 3 \).
\( y=-x^2+4x=x(4-x) \). Untuk \( 1 \le x \le 3 \), berlaku \( x \gt 0 \) dan \( 4-x \gt 0 \), sehingga \( y \gt 0 \).
Langkah 2: Luas daerah adalah integral:
\( L=\int_{1}^{3}(-x^2+4x)\,dx \).
Langkah 3: Hitung integralnya.
\( \int(-x^2+4x)\,dx=-\frac{x^3}{3}+2x^2 \).
Langkah 4: Substitusi batas \( 1 \) sampai \( 3 \).
\( L=\left[-\frac{x^3}{3}+2x^2\right]_{1}^{3}=\left(-\frac{27}{3}+18\right)-\left(-\frac{1}{3}+2\right) \).
Nilai di \( 3 \): \( -9+18=9 \).
Nilai di \( 1 \): \( -\frac{1}{3}+2=\frac{5}{3} \).
Jadi \( L=9-\frac{5}{3}=\frac{27}{3}-\frac{5}{3}=\frac{22}{3}=7\frac{1}{3} \).
Kesimpulan: luas \( =7\frac{1}{3} \), sesuai opsi C.
Soal 38
Volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva \( x-y^2+1=0 \), \( -1 \le x \le 4 \), dan sumbu \( x \) diputar mengelilingi sumbu \( x \) sejauh \( 360^\circ \) adalah .... satuan volume.
A. \( 8\frac{1}{2}\pi \)
B. \( 9\frac{1}{2}\pi \)
C. \( 11\frac{1}{2}\pi \)
D. \( 12\frac{1}{2}\pi \)
E. \( 13\frac{1}{2}\pi \)
Jawaban & Analisis
Kunci: E
Langkah 1: Ubah persamaan kurva menjadi \( y \) sebagai fungsi \( x \).
Dari \( x-y^2+1=0 \Rightarrow y^2=x+1 \Rightarrow y=\sqrt{x+1} \) untuk \( y \ge 0 \) (karena dibatasi sumbu \( x \)).
Langkah 2: Metode cakram: \( V=\pi\int_{a}^{b}y^2\,dx \).
Dengan \( y^2=x+1 \), \( a=-1 \), \( b=4 \), maka \( V=\pi\int_{-1}^{4}(x+1)\,dx \).
Langkah 3: Hitung integralnya.
\( \int(x+1)\,dx=\frac{x^2}{2}+x \).
Langkah 4: Substitusi batas.
\( V=\pi\left[\frac{x^2}{2}+x\right]_{-1}^{4}=\pi\left(\left(\frac{16}{2}+4\right)-\left(\frac{1}{2}-1\right)\right) \).
Nilai di \( 4 \): \( 8+4=12 \).
Nilai di \( -1 \): \( \frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2} \).
Selisih: \( 12-(-\frac{1}{2})=12+\frac{1}{2}=12\frac{1}{2} \).
Kesimpulan: \( V=12\frac{1}{2}\pi \), sehingga jawaban yang benar adalah opsi D.
Soal 39
Dua buah dadu dilempar undi secara bersamaan sebanyak satu kali. Peluang kejadian muncul jumlah mata dadu \( 9 \) atau \( 11 \) adalah ....
A. \( \frac{1}{2} \)
B. \( \frac{1}{4} \)
C. \( \frac{1}{6} \)
D. \( \frac{1}{8} \)
E. \( \frac{1}{12} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1: Banyaknya kemungkinan hasil pelemparan dua dadu \( =6\cdot 6=36 \).
Langkah 2: Hitung pasangan yang jumlahnya \( 9 \).
Jumlah \( 9 \): \( (3,6),(4,5),(5,4),(6,3) \) ada \( 4 \) cara.
Langkah 3: Hitung pasangan yang jumlahnya \( 11 \).
Jumlah \( 11 \): \( (5,6),(6,5) \) ada \( 2 \) cara.
Langkah 4: Total kejadian yang diinginkan \( =4+2=6 \).
Peluang \( =\frac{6}{36}=\frac{1}{6} \).
Kesimpulan: peluangnya \( \frac{1}{6} \), sesuai opsi C.
Soal 40
Perhatikan data berikut!
| Berat Badan | Frekuensi |
|---|---|
| \( 50-54 \) | \( 4 \) |
| \( 55-59 \) | \( 6 \) |
| \( 60-64 \) | \( 8 \) |
| \( 65-69 \) | \( 10 \) |
| \( 70-74 \) | \( 8 \) |
| \( 75-79 \) | \( 4 \) |
Kuartil atas dari data pada tabel adalah ....
A. \( 69,50 \)
B. \( 70,00 \)
C. \( 70,50 \)
D. \( 70,75 \)
E. \( 71,00 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1: Jumlah data \( N \) adalah jumlah frekuensi.
\( N=4+6+8+10+8+4=40 \).
Langkah 2: Letak kuartil atas \( Q_3 \) adalah \( \frac{3}{4}N \).
\( \frac{3}{4}N=\frac{3}{4}\cdot 40=30 \). Jadi \( Q_3 \) berada pada data ke-\( 30 \).
Langkah 3: Tentukan kelas kuartil dengan frekuensi kumulatif.
Frekuensi kumulatif: \( 4,10,18,28,36,40 \).
Data ke-\( 30 \) berada pada kelas \( 70-74 \) karena \( 28 \lt 30 \le 36 \).
Langkah 4: Gunakan rumus kuartil data berkelompok.
\( Q_3=L+\left(\frac{\frac{3}{4}N-F}{f}\right)\cdot p \).
Langkah 5: Tentukan komponen rumus.
Batas bawah kelas \( 70-74 \) adalah \( L=69,5 \), frekuensi kumulatif sebelum kelas itu \( F=28 \), frekuensi kelas \( f=8 \), dan panjang kelas \( p=5 \).
Langkah 6: Hitung \( Q_3 \).
\( Q_3=69,5+\left(\frac{30-28}{8}\right)\cdot 5=69,5+\left(\frac{2}{8}\right)\cdot 5=69,5+1,25=70,75 \).
Kesimpulan: kuartil atas \( Q_3=70,75 \), sesuai opsi D.